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2001年国家集训队测试题()
时间:3月1日上午8:00—1:0
1.(7分)从锐角△ABC的两边CA,CB分别向形外作△ACD,△BCE,使得AD=CD,取M为AB中点,连接DM,EM. 已知DM与EM垂直,设. 试用表示.
,并设. 如果当且仅当两个顶点属于不同部分时,他们之间才有边相连,那么就称该图为完全h部图,并将所述类型的图记为. 设n和r是正整数,. 考虑完全r+1部图,
解答以下问题:
(1)求这完全r+1部图的不交的圈(即两两无公共顶点的圈)的最多个数;
(2)给定n,对所有的,求不相交的圈不多于一个的完全r+1部图边数的最大值.
2.2(3分)(2001国家集训V—2.2)给定不相等的正整数g和h,以数轴OX上所有的整点为顶点,按以下方式定义一个有向图G:规定对任何整点,对于整数,约定将顶点限于区间范围内的图G的子图记为.
求最大的正整数,使得对任何整数r,图G的子图必定无圈. 对此,弄清楚子图和子图的结构. (有多少连通分支,每个分支是怎样的)
3. (7分) (2001国家集训V—3)对于正整数n≥6,求最小的整数,使得任何n个顶点的图,只要边数,就至少有两个无公共顶点的圈.
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