现代控制理论 第一和第二讲小结.doc

5.7 伺服系统设计 在经典控制理论中，我们通常按前馈传递函数中的积分器数目来划分系统的类型，如0型系统、I型系统等。I型系统在前馈通道中有一个积分器，且此系统的阶跃响应不存在稳态误差。本节将讨论I型伺服系统的极点配置方法，此时，将假定系统只有一个纯量控制输入u和一个纯量输出y，即仅考虑单输入单输出线性定常系统。 所谓伺服系统是用来控制被控对象的某种状态，使其能自动地、连续地、精确地复现输入信号地变化规律，通常是闭环控制系统。 下面首先讨论针对I型被控对象(被控对象含积分器)的I型闭环伺服系统的设计问题，然后讨论针对0型被控对象(被控对象不含积分器)的I型闭环伺服系统的设计问题。 5.7.1 被控系统具有积分器的I型闭环伺服系统 考虑由下式定义的线性定常系统 (5.89) (5.90) 式中，。 如前所述，假设控制输入u和系统输出y均为纯量。选择一组适当的状态变量，例如可以选择输出量等于其中的一个状态变量，这里假定输出量y等于x1。 图5.9给出了被控系统具有一个积分器时I型伺服闭环系统的一般结构。这里，假设y =x1。在分析中，假设参考输入r是阶跃函数。 图5.9 被控系统具有一个积分器的I型闭环伺服系统 在此系统中，采用如下的状态反馈控制规律 (5.91) 式中 假设在t = 0时施加参考输入（阶跃函数）。因此t 0时，该系统的动态特性由式（5.89）和（5.91）描述，即 (5.92) 设计I型闭环伺服系统，使得闭环极点配置在期望的位置。这里设计的将是一个渐近稳定系统，y()趋于常值r(r为阶跃输入)，u()趋于零。 在稳态时， (5.93) 注意，r（t）是阶跃输入。对t 0，有r()=r(t)=r(常值)。用式（5.92）减去（5.93），可得 (5.94) 定义 因此，式（5.94）成为 (5.95) 式（5.95）描述了误差动态特征。 因此，I型闭环伺服系统的设计转化为：对于给定的任意初始条件e(0),设计一个渐近稳定的调节器系统，使得e(t）趋于零。如果由式（5.89）确定的系统是状态完全能控的，则对矩阵A-BK，通过指定的期望特征值μ1，μ2，…,μn，可由5.2节介绍过的极点配置方法来确定线性反馈增益矩阵K。 x(t)和u(t)的稳态值求法如下：在稳态（）时，由式（5.92）可得 由于A-BK的期望特征值均在s的左半平面，所以矩阵A-BK的逆存在。从而，x()可确定为 同样，u()可求得为 ------------------------------------------------------------------------------ [例5.7] 考虑被控系统传递函数具有一个积分器时的I型闭环伺服系统的设计。假设被控系统的传递函数为 试设计一个I型闭环伺服系统，使得闭环极点为。假设该系统的结构与图5.9所示相同，参考输入r是阶跃函数。 [解] 定义状态变量x1,x2和x3为 ，， 则该被控系统的状态空间表达式为 (5.96) (5.97) 式中 参见图5.9并注意到n = 3，则控制输入u为 (5.98) 式中 此时，就可用极点配置方法确定状态反馈增益矩阵K。 现检验系统的能控性矩性。由于 的秩为3。因此，该系统是状态完全能控的，并且可任意配置极点。 将式（5.98）代入式（5.96），可得 (5.99) 式中的r为阶跃函数。因此，当t趋于无穷时，x(t)趋于定常向量x()。在稳态时， (5.100) 从式（5.99）减去式（5.100），可得 定义 那么 (5.101) 式（5.101）确定了误差的动态特性。给定被控系统的特征方程为 因此 由于A-BK的期望特征值为 所以期望的特征方程为 因此 为了利用极点配置方法来确定矩阵K，采用式（5.13），将其重写为 (5.102) 由于式（5.96）已是能控标准形，所以P = I。因此 该系统的阶跃响应容易由计算机仿真求得。由于 由式（5.99），可得此闭环反馈系统的状态方程为 (5.103) 输出方程为 (5.104) 当r为单位阶跃函数时，求解式（5.103）和（5.104），即可得到y(t)对t的单位阶跃响应曲线。利用MATLAB Program 5.9，将可轻松地求出单位阶跃响应。相应的单位阶跃响应曲线如图5.10所示。 注意到，因此由式（5.100），可得 MATLA