第四章 Lyapunov稳定性分析.doc

第四章 Lyapunov稳定性分析 4.1 概述 线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至不可能。Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。 一百多年以前(1892年)，伟大的俄国数学力学家亚历山大· 米哈依诺维奇·李亚普诺夫(A.M.Lyapunov) (1857-1918)，以其天才条件和精心研究，创造性地发表了其博士论文“运动稳定性的一般问题”，给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。 在这一历史性著作中，Lyapunov研究了平衡状态及其稳定性、运动及其稳定性、扰动方程的稳定性，得到了系统的给定运动(包括平衡状态)的稳定性，等价于给定运动(包括平衡状态)的扰动方程之原点(或零解)的稳定性。 在上述基础上，Lyapunov提出了两类解决稳定性问题的方法，即Lyapunov第一法和Lyapunov第二法。 第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性； 第二法则是一种定性方法，它无需求解困难的非线性微分方程，而转而构造一个Lyapunov函数，研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。这一方法在学术界广泛应用，影响极其深远。一般我们所说的Lyapunov方法就是指Lyapunov第二法。 虽然在非线性系统的稳定性分析中，Lyapunov稳定性理论具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。 本章4.1节为概述。4.2节介绍Lyapunov意义下的稳定性定义。4.3节给出Lyapunov稳定性定理，并将其应用于非线性系统的稳定性分析。4.4节讨论线性定常系统的Lyapunov稳定性分析。 4.2 Lyapunov意义下的稳定性问题 对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如Routh-Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性判据就将不再适用。 本节所要介绍的Lyapunov第二法（也称Lyapunov直接法）是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。此外，它还可应用于线性二次型最优控制等许多问题。 4.2.1 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点 考虑如下非线性系统 (4.1) 式中为维状态向量，是变量,,…,和t的n维向量函数。假设在给定初始条件下，式(4.1）有唯一解，且当时，。于是 在式(4.1）的系统中，总存在 , 对所有t (4.2) 则称为系统的平衡状态或平衡点。如果系统是线性定常的，也就是说，则当A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态；当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统，则有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t，总存在）。平衡状态的确定不包括式(4.1）的系统微分方程的解，只涉及式(4.2）的解。 任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动都可通过坐标变换，统一化为扰动方程之坐标原点，即或。在本章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点处之平衡状态的稳定性问题。这种所谓“原点稳定性问题”，由于使问题得到极大简化，又不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础，这是Lyapunov的一个重要贡献。 4.2.2 Lyapunov意义下的稳定性定义 下面首先给出Lyapunov意义下的稳定性定义，然后回顾某些必要的数学基础，以便在下一小节具体给出Lyapunov稳定性定理。 定义4.1 设系统 ， 之平衡状态的H邻域为 其中，，为向量的2范数或欧几里德范数，即 类似地，也可以相应定义球域S((）和S((）。 在H邻域内，若对于任意给定的，均有 (1) 如果对应于每一个，存在一个，使得当t趋于无穷时，始于S(()的轨迹不脱离S(()，则式(4.1)系统之平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳定的。一般地，实数(与(有关，通常也与t0有关。如果 ( 与t0无关，则称此时之平衡状态为一致稳定的平衡状态。 以上定义意味着：首先选择一个球域S((），对应于每一个S((），必存在一个球域S((），使得当t趋于无穷时，始于S((）的轨迹总不脱离球域S((）。 (2) 如果平衡状态，在Lyapun