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答案 1.1
y + xtgα y 2 2 2
1.(1) (x , y ) y (2) (x − ) + (y − xy ) l (3) xy + y 0
x − ytg α y
y 2 2
(4) (y − xy )(x − ) 2a (5) y − xy x
y
y
提示：过点 (x, y ) 的切线的横截距和纵截距分别为x − 和y − xy 。
y
2.设 0 时刻的质点的在平衡处，坐标轴为一平衡位置为原点，竖直向下为轴的方
向，
设弹簧的弹性系数为 k,根据能量守恒定律
dx 2 2
我们得到微分方程：:m( ) +kx =2mgx,x(0)=0,
dt
3.如上建立坐标系，设任意时刻物体的位置为 x(t), 由牛顿运动定律，
2 2 dx
我们得到微分方程：md x/dt =mg-k ,其中 g 为重力加速度;
dt
4.设任意时刻物体的温度为 T(t), 由牛顿冷却定律，
dT (t)
我们得到微分方程： =-k(T(t)-A),T(0)=T0,其中 k 为比例系数，
dt
解该方程得到：T(t)=A+(T -A) e−kt ;
0
5. 以静止时刻物体的位置为轴的零点，沿斜面向下为轴的方向建立轴。设任意时
刻物体的速度为 v(t),根据牛顿运动定律，我们得到微分方程：
dv 3g
,v(0)=0;
dt 2
dy(x)
2
y x
( ) dx
6 ．微分方程是
op − x dy(x) 2
( ) − 1
dx
dy dy d 2 y dy
7. 1) x 2y ，2) y ，3)
dx dx dx dx
3x 2 d 2 x dx 2
4) c 2 + 3x ( ) ，代入略
2 dy dy
dy dy 2 dy dρ dy dx
5) [ + ( ) ] − 0 ，6) ρ θ − θ ，7) −
x y y sin (1 cos ) tgt
dx dx dx dθ dt
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