第二章 线性系统的状态空间描述.ppt

第二章 线性系统的状态空间描述 教学要求： 正确理解线性系统的数学描述，状态空间的基本概念。 熟练掌握状态空间的表达式，线性变换。 线性定常系统状态方程的求解方法，了解线性离散系统状态方程的求解方法。 重点内容： 状态空间表达式的建立，状态状态转移矩阵和状态方程的求解，线性变换的基本性质，传递函数矩阵的定义。 要求熟练掌握通过传递函数、微分方程和结构图建立电路、机电系统的状态空间表达式，并画出状态变量图，以及可控、可观、对角和约当标准型。 对 时刻松弛的系统： 对初始松弛的系统： 3.因果性:若系统在t时刻的输出仅取决于在t时刻之前输入，而与t时刻之后的输入无关，则称系统具有因果性。 对具有因果性的松弛系统： 4.线性:一个松弛系统,当且仅当对任何输入 及任意常数 , 均有 (可加性), (齐次性),则该系 统称为线性的，否则为非线性。 5.定常性（时不变性）: 1)定义: -位移算子 状态空间表达式为： 解：以 作为中间变量，列写该回路的微分方程 选 为系统两状态变量，则原方程可化成 写成矩阵—向量的形式为： 令 为状态向量 则： 例3.试求用电枢电压控制的他激电动机的状 态空间表达式 解： 由电压定理： 由转矩平衡定律： 转动惯量， 粘性摩擦常数， 电磁转矩常数， 电势常数 令 例4. 一长度为l ，质量为m的单倒立摆，用铰 链安装在质量为M的小车上，小车受电机操纵， ，在水平方向施加控制力u，相对参考坐标系 产生位移x。要求建立该系统的状态空间表达 式。 设小车瞬时位置为 摆心瞬时位置为 在水平方向，由牛顿第二定律 即： 在垂直方向：惯性力矩与重力矩平衡 即: 则有： 联立求解： 消元后： 选取状态变量： 选取： 状态空间表达式： 例1 设 求（A，B，C，D） 解：选 则： 状态空间表达式为 2）系统输入量中含有导数项 如果单输入—单输出系统的微分方程为： 一般输入量中导数项的次数小于或等于系统 的次数n。为了避免在状态方程中出现u的导 数项，可以选择如下的一组状态变量。 设 ，选取： 即： 将 代入 得： 选择 ，使得上式中u的各阶导 数项的系数都等于0，即可解得： 令上式中u的系数为 ，则： 最后可得系统的状态方程： 可写成向量-矩阵的形式： 即： 状态变量结构图 例2： 试写出它的状态空间表达式。 解： 则： 状态空间表达式为 严格真分式传函 前馈系数 上式中的系数用长除法得到： （1） 串联分解的形式 选取状态变量 则状态方程为： 输出方程为： 写成向量-矩阵形式为： 这样的A阵又称友矩阵，若状态方程中的A， b具有这种形式，则称为可控标准型。 当 时，A，b不变。 系统{A，b，C，D}称为G（s）的可控标准 形实现。 例：试求 的可控标准形。 解：该系统传递函数：