2005年高考数学总复习解题思维专题讲座之三-数学思维的严密性.doc

2005年高考数学总复习解题思维专题讲座之三 数学思维的严密性 一、概述 在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在以下几个方面： 概念模糊 概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础。概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误。 判断错误 判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中，如果概念不清，很容易导致判断错误。例如，“函数是一个减函数”就是一个错误判断。 推理错误 推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密。 例如，解不等式 解 或 这个推理是错误的。在由推导时，没有讨论的正、负，理由不充分，所以出错。 二、思维训练实例 思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。 (1) 有关概念的训练 概念是抽象思维的基础，数学推理离不开概念。“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。”《中学数学教学大纲》（试行草案） 不等式 错误解法 错误分析 当时，真数且在所求的范围内（因 ），说明解法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性。 正确解法 求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。 错误解法 设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为 ，消去得： 整理得 直线与抛物线仅有一个交点， 解得所求直线为 错误分析 此处解法共有三处错误： 第一，设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。 第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。 第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。 正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切。 当所求直线斜率为零时，直线为平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。 设所求的过点的直线为则 ， 令解得所求直线为 综上，满足条件的直线为： 判断的训练 造成判断错误的原因很多，我们在学习中，应重视如下几个方面。 ①注意定理、公式成立的条件 数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件，解题中难免出现错误。 实数，使方程至少有一个实根。 错误解法 方程至少有一个实根， 或 错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。 正确解法 设是方程的实数根，则 由于都是实数， 解得 例4 已知双曲线的右准线为，右焦点,离心率,求双曲线方程。 错解1 故所求的双曲线方程为 错解2 由焦点知 故所求的双曲线方程为 错解分析 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。 正解1 设为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为，右焦点，离心率，由双曲线的定义知 整理得 正解2 依题意，设双曲线的中心为 则 解得 所以 故所求双曲线方程为 ②注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用 我们知道： 如果成立，那么成立，即，则称是的充分条件。 如果成立，那么成立，即，则称是的必要条件。 如果，则称是的充分必要条件。 充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解，求满足条件的点的轨迹等等。但充分条件和必要条件中解题中的作用不同，稍用疏忽，就会出错。 例5 解不等式 错误解法 要使原不等式成立，只需 解得 错误分析 不等式成立的充分必要条件是：或 原不等式的解法只考虑了一种情况，而忽视了另一种情况，所考虑的情况只是原不等式成立的充分