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第九章 状态空间分析方法 第9章 状态空间分析方法 基本要求 掌握由系统输入—输出的微分方程式、系统动态结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模型的方法。 熟练掌握矩阵指数的计算方法,熟练掌握由时域和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态方程计算传递函数的公式。 正确理解线性变换, 熟练掌握线性变换前、后动态方程各矩阵的关系。 正确理解可控性和可观测性的概念,熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。 基本要求 能将可控系统 化为可控标准形。能将不可控系统进行可控性分解。 熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法, 熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状态反馈系统, 可进行闭环极点配置和观测器极点配置。 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。 状态空间方法基础 在经典控制理论中,用传递函数来设计和分析单输入、单输出系统。 在现代控制理论中,用状态变量来描述系统。采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了,为系统的分析研究提供了有力的工具。 一、状态空间的基本概念 例 设一RLC网络如图所示。 回路方程为 或写成 系统结构图如图所示 例 线性定常系统状态方程的解 最终得到 与前一种解法所得结果一致。 例 状态方程之解为 讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法 例 四、传递函数矩阵 定义传递函数矩阵为 所以 特征方程为 解: 例 五、动态方程的线性变换 特征多项式 例 系统进行坐标变换,其变换关系为 试求变换后系统的特征方程和特征值。 解:根据题意求变换矩阵 线性系统的可控性和可观测性 在状态空间法中,对系统的描述可由状态方程和输出方程来表示。 状态方程是描述由输入和初始状态所引起的状态的变化;输出方程则是描述由于状态变化而引起输出的变化 一、准备知识 2、Cayley-Hamilton定理 Cayley-Hamilton定理指出,矩阵A满足自己的特征多项式。 应用Cayley-Hamilton 定理 3 引理 二、线性系统的可控性 2 可控性判据 3 约当型方程的可控性判据 约当块的一般形式为 可控的充分必要条件为 ①同一特征值对应的约当块只有一块,即各约当块的特征值不同。 ②每一约当块最后一行,所对应的b中的元素不为零。 这一充分必要条件又称为单输入系统约当形方程的可控性判据。 例 解: 4、可控标准形 上式的形式被称为单输入系统的可控标准形 。 对于一般的单输入n维动态方程 其中A,b分别为n×n,n×1的矩阵。成立以下定理: 若n维单输入系统可控,则存在可逆线性变换,将其变换成可控标准形。 下面给出变换矩阵P的构成方法 计算可控性矩阵S; 计算 ,并记 的最后一行为h。 构造矩阵 P 令 例 设系统状态方程为 试将系统状态方程化为可控标准形。 此时标准形中的系统矩阵的最后一行系数就是A阵特征式的系数,但符号相反。 则变换矩阵为 可求出 系统按可控性进行分解 系统可控时,可通过可逆线性变换变换为可控标准形,现在研究不可控的情况,这时应有 不可控系统经过线性变换 式中 是n1维向量, 是n2维向量,并且 从上图可见,控制输入不能直接改变 也不能通过影响间接改变 ,故 这一部分状态分量是不受输入影响的,它是系统中的不可控部分。 由图上还可看出系统的传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定,即传递函数未能反映系统的不可控部分。 例 设有系统方程如下 其传递函数为 试进行可控性分解 。 解: 计算出 故有 因而得 2 可观测性判据 可观测的充分必要条件是 3 对偶原理 上面两个系统的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵之间有确定的关系,称系统Ⅰ、Ⅱ是互为 对偶 的系统。 对偶原理 系统Ⅰ的可控性(可观性)等价于系统Ⅱ的可观性(可控性)。 只要写出系统Ⅰ的可控性矩阵(可观性矩阵)和系统Ⅱ 的可观性矩阵(可控性矩阵)即可证明以上结论。 利用对偶原理,可以将可控性的研究结果应用到可观测性的研究上。因为对对偶系统的可控性研究就相当于对原系统的可观性研究。 4 可观测标准形 一个单输出系统如果其A,c 阵有如下的标准形式,它一定是可观测的。 通过对偶原理证明: 给定系统方程如下 构造原系统的对偶系统 根据对偶原理,因原系统为可观测,所以其对偶系统一定可控。 因此有 例 系统动态方程为 将系统动态方程化为可观标准形,并求出变换矩阵。 解: 显然该系统可观测,可以化为可观标准形。写出它的对偶系统的A,b阵,分别为
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