2006年秋季学期《线性代数》期末复习大纲.docVIP

2006年秋季学期《线性代数》期末复习大纲 一、考试形式：闭卷 二、参考书：课本，杨荫华版 三、试卷结构 题型包括选择、填空和计算题。其中，选择4道20分，填空4道20分，大题3道60分。 四、复习要求 1、复习基础知识 在复习过程中，我们一定要把教材中提到的基础知识复习一遍，掌握每个关键知识点的含义。基本概念理解不透彻，对解题会带来思维上的困难和混乱．因此对概念必须搞清它的内涵，还要研究它的外延，要理解正面的含义，还要思考、理解概念的侧面、反面例如关于矩阵的秩，教材中的定义是：A是Xn矩阵，若A中有一个r阶子式不为零，所有r阶以上子式(如果它还有的话)均为零，则称A的秩为r，记成rank(A)r(或r(A)＝r，秩A＝r)．显然，定义中内涵的要点有：1．A中至少有一个r阶子式不为零；2．所有r阶以上均为零．3．若所有r+1子式都为零，则必有所有r阶以上子式均为零．要点2和3是等价条件，至于r阶子式是否可以为零？小于r阶的子式是否可以为零?所有r-1阶的子式是否可以全部为零？这些都是秩的概念的外延内容，如果这些概念搞清楚了。那么下述选择题就会迎刃而解． 例1 设A是m×n矩阵，r(A)＝rMIN(M，N)，则A中(A)至少有一个r阶子式不为零，没有等于零的r-1阶子式．　　(B)有不等于零的r阶子式，没有不等于零的r+1阶子式．　　(C)有等于零的r阶子式，没有不等于零的r+1阶子式．　　(D)任何r阶子式不等于零，任何r+1阶子式都等于零．　　答案：(B) 基本方法要熟练掌握．熟练掌握不等于死记硬背，相反要抓问题的实质，要在理解的基础上适当记忆．把需要记忆的东西缩小到最低限度，很多方法可以通过练习来记住，例如一个实对称矩阵，一定存在正交矩阵，通过正交变换化为对角阵，其步骤较多，但通过练习，不难解决． 基本计算要熟练．学习数学，离不开计算，计算要熟练，当然要做一定数量的习题，通过一定数量的习题，把计算的基本功练扎实．在练习过程中，自觉的提高运算能力，提高运算的准确性，养成良好的运算习惯和科学作风．特别对线性代数而言，运算并不复杂，大量的运算是大家早已熟练了的加法和乘法，从而养成良好的运算习惯和科学作风显得尤为重要。例如线性代数的前四章中(行列式、矩阵、向量、方程组)绝大多数的运算是初等变换．用初等变换求行列式的值、求逆矩阵、求向量组(或矩阵)的秩、求向量组的极大线性无关组、求方程组的解等．可以想象，一旦初等变换过程中出现某个数值计算错误，那你的答案将是什么样的结果？从历届数学试题来看，每年需要通过计算得分的内容均在70%左右，可见计算能力培养的重要．只听不练，只看不练，眼高手低，专找难题做，这并不适合一般考生的情况，在中，不乏有教训惨痛的人． 　 线性代数中概念多、定理多、符号多、运算规律多，内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，应通过全面系统的复习，充分理解概念，掌握定理的条件、结论及应用，熟悉符号的意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，抓规律，使零散的知识点串起来、连起来，使所学知识融会贯通，实现一个“活”字．① 加法交换律: A+B=B+A. ② 加法结合律: (A+B)+C=A+(B+C). ③ 加乘分配律: c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA. ④ 数乘结合律: c(d)A=(cd)A. ⑤ cA=0( c=0 或A=0. 转置:把一个m(n的矩阵A行和列互换,得到的n(m的矩阵称为A的转置,记作A T(或A(). 有以下规律: ① (AT)T= A. ② (A+B)T=AT+BT. ③ (cA)T=(cA)T. (3) n阶矩阵 几个特殊矩阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵. n阶矩阵A的相应的行列式记作|A|,称为A的行列式. 把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它的主对角线.(其上的运算行列号相等.) 下面列出几类常用的n阶矩阵,它们但是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵: 主对角线外的的元素都为0的n阶矩阵. 单位矩阵: 主对角线外的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 数量矩阵: 主对角线外的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE. 上(下)三角矩阵: 主对角线下(上)的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵:满足AT=A矩阵.也就是对任何i,j, (i,j)位的元素和(j ,i)位的元素总是相等的n阶矩阵. 反对称矩阵:满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j, (i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵. 反对称矩阵对角线上的元素一定都是0. (4) 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵 矩阵的初等行变换有以下三种: ① 交换两行的上下位置. ② 用一个非0的常数乘某一行的各