第9章集合.ppt

第9章 集 合 第9章到第12章介绍集合论．包含集合、关系、函数和基数．对概念和定理的介绍将以数理逻辑的谓词逻辑为工具来描述，体现了这两个数学分支之间的联系，且可使集合论的研究既简练又严格，还将简要介绍集合论公理系统．这个公理系统又称公理集合论，是数理逻辑的一个分支． 9 ． 1 集合的概念和表示方法9．1． 1 集合的概念 一个模糊定义：集合是一些确定的、可以区分的事物汇聚在一起组成的一个整体，组成—个集合的每个事物称为该集合的一个元素．或简称—个元．(集合论公理系统的一个基本思想是将集合中的元素也描述为集合，这样集合论就可以只关心集合了。) 如果a是集合A的一个元素，就说a属于A，或者说a在A中，记作a∈A， 如果b不是集合A的—个元素，就说b不属于A．或者说b不在A中,记作b?A． 朴素的集合论简单但存在多种悖论，例如例5的罗素悖论。为避免悖论，准确理解，特别应注意以下约束： (1)不自吞：集合的元素可以是任何事物，也可以是另外的集合(以后将说明，集合的元素不能是该集合自身，正则公理指出集合不能自吞p153-154)． (2)不重复：一个集合的各个元素是可以互相区分开的．这意味着，在一个集合中不会重复出现相同的元素． (3)无次序：组成一个集合的各个元素在该集合中是无次序的．(注：有序对也可由集合来表达p135) (4)确定性：任—事物是否属于一个集合，回答是确定的，也就是说。对一个集合来说，任一事物或者是它的元素或者不是它的元素，二者必居其一而不可兼而有之，且结论是确定的。(例5的罗素悖论违反了这一性质p131) 9．1．2 集合的表示方法 约定1：我们—般用不同的大写字母表示不同的集合．并用不同的小写字母表示集合中不同的元素，但是因为某个集合的一个元素可能是另—个集合．所以这种约定不是绝对的． 约定2：用几个特定的字母表示几个常用的集合．约定 N表示全体自然数组成的集合(本书中,规定0是自然数,即0?N．但在另一些书中,规定0不是自然数．), Z表示全体整数组成的集合， Q表示全体有理数组成的集合， R表示全体实数组成的集合， C表示全体复数组成的集合． 两种表示集合的方法(另外还有运算式子表达法§9.3、图形表达法§9.4)： 一种方法是外延表示法(列举)．这种方法一一列举出集合的全体元素．例如 A={7，8，9}， N={0，1，2，3，…}， 表示集合A有三个元素7，8，9．集合N的元素是0，1，2，3，…，集合N就是自然数的集合，N的表示式中使用了省略符号，这表示N中有无限多个元素4，5，6，7等．有限集合中也可以使用省略符号，例如 {a，b，c,…，y，z} 表示由26个小写英文字母组成的集合． 另一种方法是内涵表示法(谓词描述)：这种方法是用谓词来描述集合中元素的性质．上述的集合A和N可以分别表示为 A＝{x|x是整数且6xl0}， N＝{x|x是自然数}， 一般情况，如果P(x)表示一个谓词，那么就可以用{x|P(x)}或{x:P(x)}表示一个集合.{x|P(x)}是使P(x)为真的所有元素组成的集合．也就是说，若P(a)为真，则a属于该集合；若P(a)为假，则a不属于该集合．在表示式中的|和：是一个分隔符号．在它前向的x是集合中元素的形式名称(如集合A中元素的形式名称是x，但实际名称是7，8，9.常用x，y，z表示形式名称)．在分隔符号后面的P(x)是仅含自由变元x的谓词公式． 9．1．3 集合的实例 例1(外延表示法) B={9，8，8，7}(约束2)， 集合B中的两个8应看作B中的同一个元素，所以B中只有三个元素．集合B就是{9，8，7}．它与上述的集合A={7,8,9}是同样的集合，因为元素之间没有次序． 例2(内涵表示法) D＝{x |x?B}． 集合D是用集合B来定义的．若x?B，则x?D：若x?B，则x?D．集合D中的元素是除7，8，9外的一切事物． 例3 (外延表示法，有层次) F={7，{8，{9}}}． 集合F和集合B不同。7?F，但8?F，9?F．只有8?{8，{9}}和9?{9}．集合F仅含有两个元素7和{8，{9}}，这两个元素由表示F的最外层花括号包围，并由逗号分隔开．对于以集合为元素的集合(即有多层花括号的集合)，应注意集合的层次． 例4 (内涵表示法，递归) G＝{x|x＝1 V(?y)(y?G ? x={y})}． 集合G是用递归方法定义的．这个定义是构造性的，可以由该定义求G的每个元素，从而构造出G．构造G的过程是 由1?G，有{1} ?G， 由{1} ?G，有{{1}} ?G， … 这个构造过程是无止境的，因此G的元素有无限多个． 例5 (内涵表示法) 罗素悖论 H＝{x|x是