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第二篇 集合论 本篇由集合论初步、关系、函数、有限集与无限集等与集合论相关等四部分内容组成，它们间是一个内容关联的整体。 第四章 集合论初步 集合论是数学的基础，也是离散数学的基础。故学好集合论十分重要，在本章学习中要掌握： ? 集合中的一个基本概念 ? 集合中的两种关系 ? 集合中的三种特殊集合 ? 集合中的四种表示方法 ? 集合中的五种运算 ? 集合中的21个常用公式 §4.1 集合论基本概念 （1） 一个主要的概念——集合的基本概念：一些不同确定的对象全体称集合，而这些对象称集合的元素。 （2）集合中的两个关系 ? 集合间的比较关系：A＝B，A≠B，A?B，A?B。 ? 集合与元素间的隶属关系：a?A，a?A。 （3） 三种特殊的集合 ? 空集? ? 全集E ? 幂集?（A）。 （4） 集合的四种表示法： ? 枚举法。即将集合元素一一列举。例：{1, 2, 3,…} ? 特性刻划法。即用元素的性质刻划集合。例：{x | p (x)} ? 图示法。即用文氏图表示集合及集合间的关系。例： ? 运算法。即用已知集合的运算构造新的集合。例： S＝A∪ （B∩C） （5）集合的五种运算： ? 交运算：A∩B ? 倂运算：A∪B ? 差运算：A－B ? 补运算：～A ? 对称差运算：A＋B （6）集合的21个公式： 交换律： A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A 结合律： A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C 分配律： A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∩C） A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C） 同一律： A∪?＝A A∩E＝A 零一律： A∪E＝E A∩?＝? 互补律： A∪～A＝E A∩～A＝? 双补律： ～（～A）＝A E与? 的互补： ～E＝? ～?＝E 等幂律： A∪A＝A A∩A＝A 吸收律： A∪（A∩B）＝A A∩（A∪B）＝A 狄·莫根定律： ～（A∪B）＝～A∩～B ～（A∩B）＝～A∪～B § 4.5 有限集与无限集 （1）有限集与无限集的基本概念 ? 有限集的两个定义 ? ? 集合S与Nn 一 一对应 ? ? 非无限集即为有限集 ? 无限集的两个定义 ? ? S与一 一对应函数f：S?S使得：f (S) ? S ? ? S存在与其等势的真子集 （2）有限集 有限集的基数——有限集元素个数 有限集的计数——计算有限集中元素个数 有限集计数的四种方法： ? |A∪B|＝|A|+|B| ? |A∪B|＝|A|+|B|－|A∩B| ?|A∪B∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A∩B|－|A∩C|－|B∩C|+|A∩B∩C| ?|S1∪S2∪…∪Sn|＝∑|Si|－∑ |Si∩Sj|＋ ∑ |Si∩Sj∩Sk|（－1）∑ |S1∩S2∩…∩S n| 无限集 （3）四个常用的无限集： ? 自然数集N ? 整数集I ? 有理数集Q ? 实数集R （4） 无限集的势 （5） 无限集分类（按势分类） 自然数集 可列集——基数为?0 整 数 集 无限集 实数集——基数为 ? 有理数集 更大基数的集——?（A） 幂集、n元有序组与笛卡尔乘积 （7）幂集 ?