第五章 无限集合.ppt

(i) 等势是集合族上的等价关系,它把集合族划分成等价类, 在同一等价类中的集合有相同的基数。因此可以说“基数是在等势关系下集合的等价类的?特征”, 或者干脆说“基数是在等势关系下集合的等价类的名称”, 这实际上就是基数的一般定义。例如, 3是等价类{{a,b,c},{0,1,2},{r,s,t},…}的名称(或特征), 是N所属等价类的名称。  (ii) 要证明一个集合S有基数α, 只需选基数为α的任意集合S′, 证明从S到S′或从S′到S存在一双射函数。选取集合S′的原则是使证明尽可能容易。 例1 (a) 设E是正偶数集合, 考虑E的基数。因为 f: I+→E, f(x)=2x 是从I+到E的双射函数, 所以, |E|=|I+|= 。 (b) 设Σ={a,b}, S是Σ上以a带头的有限串集合, 考虑S的基数。 因为  f: Σ*→S, f(x)=ax 是一个双射函数。所以, |S|=|Σ*|= 。 第一个定理叫做三歧性定律。 定理5.2-2(Zermelo) 设A和B是集合,那么下述情况恰有一个成立: (a) |A|＜|B|, (b) |B|＜|A|, (c) |A|=|B|。 第二个定理断言关系≤是反对称的。 定理5.2-3(Cantor-Schroder-Bernstein)设A和B是集合, 如果|A|≤|B|和|B|≤A, 那么, |A|=|B|。 这个定理对证明两个集合具有相同的基数提供了有效方法。 如果我们能够构造一单射函数f:A→B, 以证明|A|≤|B|; 构造另一单射函数g:B→A, 以证明|B|≤|A|, 则按照定理即可得出|A|=|B|。注意f和g不必是满射的。这样, 定理5.2-3实际上等价于“若存在从A到B和从B到A的单射函数, 则存在从A到B的双射函数”。通常构造这样的两个单射函数比构造一个双射函数要容易。 有了以上两个定理, 就容易得出: ; 定理5.2-4 设S是一基数集合, S上的次序关系≤是一线序。S上的次序关系＜是一拟序。 证明留作练习。 例2 (a) 证明｜(0,1)｜=｜［0,1］｜。 证 因为f:(0,1)→［0,1］, f(x)=x是单射函数, ｜(0,1)｜≤｜［0,1］｜。又g:［0,1］→(0,1), g(x)= 是单射函数, 所以, |［0,1］|≤｜(0,1)｜。 故｜(0,1)｜=｜［0,1］｜。 (b) 证明｜(0,1］｜=c。 证 作函数f:(0,1)→(0,1］, f(x)=x, 这是单射函数, 所以, c≤|(0,1］|。 作函数g:(0,1］→［0,1］, g(x)=x, 也是单射函数, 所以, |(0,1］|｜≤c。 故|(0,1］|=c。 定理5.2-5 设A是有限集合, 那么 。 证 假定|A|=n。我们证明对每一n, 有|{0,1,2,…,n-1}|＜|N|＜|［0,1］|。 作函数f:{0,1,2,…,n-1}→N, f(x)=x。这是一单射函数, 所以, |{0,1,2,…,n-1}|≤|N|。定理5.1-1已证明没有从N到{0,1,2,…,n-1}的双射函数, 所以, |{0,1,2,…,n-1}|≠|N|, 故|{0,1,2,…,n-1}|＜|N|, 即 。 作函数g:N→［0,1］, , 这也是一单射函数, 所以, |N|≤|［0,1］|。定理5.1-7已证明|N|≠|［0,1］｜, 所以, |N|≤|［0,1］|, 即 。 *5.2.2 应用举例 例3 证明|ρ(N)｜=c。 证  (i) 作函数h: ρ(N)→［0,1］。h的变换规则是: 对每一子集 , 例如, h(N)=0.111… h({1,4,5})=0.010011 h是单射的, 所以, ｜ρ(N)｜≤｜［0,1