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第一讲 集合及其运算 ● 知点 考点 答点 （1）子集——集合问题的核心 研究集合，说到底是在研究集合的子集. 全集只是一个概念，如实数集R. 真正有实际意义的事，是在R上研究方程或不等式的解集，函数的定义域或值域，参数的取值范围等. 这些，都是在研究R的某个子集. 【例1】设集合A={x|2=1}，B={x| (x-a)(x2-1)=0}，当a为何值时，AB？ 【思考】 集合A、B都是用“陈述法”表示的方程的解集，为了比较A和B的关系，先考虑将A和B分别化简. 【解答】 易得集合A={1，2}.B={-1,1,a},欲得AB，必须且只须a=2. 【归纳】 已知A是B的子集，求“母集”B中常数a应满足的条件.逆向运用子集的定义，常采用“比较法分析法”. （2）交集——两集合间的“且运算” 【例2】设集合A={x|2≤1}，B={x| (x-a)(x2-1)=0}，当a为何值时，A∩B={1}？ 【思考】 A是不等式的解集，B是方程的解集.已知A和B的交集，求B中参数满足的条件，先考虑将A和B分别化简. 【解答】 易得A={x|1≤x≤2},B={-1,1,a}，欲使A∩B={1},必须有a.即a2或－1＜a≤1 或a＜－1. 【归纳】 比较分析法是分析法和比较法的综合运用.分析法“由果索因”，比较法可以逆用概念或定义将交集定义中的“且”字法则化. （3）并集——两集合间的“或运算” 【例3】设集合A={x|2≥1}，B={x| |x-a|0}，当a为何值时，A∪B=A？ 【解答】 欲使A∪B=A，则有BA,易得A={x|x≤1或x≥2},B={x|x≠a,a∈R},欲使A∪B=A，必须有a∈（1，2）. 【说明】 本题中的集合B，容易误解为在R上去掉一个单元素a,即B=，实际上a是个变数，当a∈(1,2)时，B= （4）补集——全集对子集的“差运算” 【例4】设集合B={x| (x-a)(x2-1)=0}，当a为何值时，RB={x| x2≠1,0}？ 【解答】 易知R B={x|x≠-1,0,1},B={-1,1,a},按补集的概念有0∈B,故得a=0. 【点评】 求一个集合A对于全集合I的补集IA=，所用方法是“求差法”：即在I中“减去”A的各个元素，剩下的元素便组成集合，A上的这个“—”，就是“减号”的意思. （5）等集—— 一个集合的两种表示 【例5】设集合A={x|21}，B={x| (x-a)(x-1)0}，当a为何值时，A=B？ 【解答】 A={x|x1或x2},B={x|ax1或1xa},不管a取什么实数，集合B都是有限区间，而集合A是无限区间，故有A≠B.故使A=B的a值不存在. 【点评】 等集关系是子集关系的特例.当集合A、B互为“母子关系”，即时，便有A=B. 和“等式替换”一样，集合的化简和变形都是在进行“等集替换”.检验这种替换的正确与否，方法仍然是“互为母子法”. ● 通法 特法 妙法 （1）列举法——集合表示的基本大法 【例6】 设的子集为 ，则N的子集中包含元素1和10的集合有（ ）个. A.10 B.64 C.128 D.256 【分析】虽然M是无限集合，但因其元素a都是整数，故其子集N的元素b也是整数.又1≤b≤10,故集合N是有限集合.考虑用列举法将集合N元素具体化. 【解答】 当x=y=z=0时，a1=1; 当x=1,y=z=0时，a2=2; 当x=z=0,y=1时，a3=3; 当x=2,y=z=0时，a4=4; 当x=y=0,z=1时，a5=5; 当x=y=1, z=0时，a6=6; 当x=3,y=z=0时，a7=8; 当x=z=0,y=2时，a8=9; 当x=z=1,y=0时，a9=10; 故集合N={1，2，3，4，5，6，8，9，10} （注意N中无7） 先求得N的子集N＇={2，3，4，5，6，8，9}的子集有27=128（个）. 故N的含有元素1和10的子集也有128个.答案为C. 【点评】 列举法使“未知”的集合N变得确定，如N的元素个数确定为9个（前10个正整数缺7）.除了1和10外还有7个元素.正是依赖于元素个数“7”，而求得了答案27. 列举法对无限集合M还能进行“有限的展望”，明白了M中没有元素7的原因后，同样可知集合M中也不含有质数11与合数14等. 列举法能使抽象的集合化为形象，使解题人在理性的迷茫中找到感性的知觉. （2）分类法——子集思想的体现 【例7】设A={x| x2+mx+1=0,x∈R}，B={y| y0}，若A∩B= ，求实数m的取值范围. 【分析】 集合B是非空实数集R- ，因此A∩B= 应分为： （1）