行列式是代数学中一个重要的工具.pptVIP

第二章 行列式 数 = = 线 性 代 * 行列式是代数学中一个重要的工具，利用它可以用来判断一个n阶矩阵是否可逆；可以导出一个矩阵的逆矩阵公式以及著名的克拉姆法则。这一章我们先给出二、三阶行列式的定义，在此基础上归纳出一般n阶行列式的定义，然后讨论行列式的基本性质及其应用。 §2.1 行列式及其性质 在数学发展史上，行列式是通过解线性方程组的求解而引出的，以二元线性方程组 的求解为例,为了消去未知数x2 ,两式分别乘以 定义1 （+） （-） (2.1)式中横写的叫行,竖写的叫列,其中的数称为行列式的元素 如 为二阶行列式的第一行第二列的元素. 二阶行列式的运算规则: 定义2 三阶行列式有3行3列,32个元素,其右端的算式由3!个项组成,其中每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,所有乘积 项前所带的符号为正负号各半.(即各为 项) 与二阶行列式相似,它可以由一个很简单的规则来说明,这就是三阶行列式的对角线法则,即如下所示,实对角线上三个元素之乘积前冠以正号,虚对角线上三个元素之乘积前冠以负号,再把这些乘积加起来,就得到(2.2)式. (+) (+) (+) (-) (-) (-) (2.3) 上述三阶行列式的值,也可以表示为 我们来分析一下(2.4)式:首先(2.4)式右端的三项是D3中第一行的三个元素 分别乘一个二阶行列式,而使乘的二阶行列式是划去该元素所在的行与所在的列所组成;其次,每一项之前都要乘以 ,1和j正好是 的行标和列标. 按照这一规律,我们可以用三阶行列式定义出四阶行列式.以此类推,我们可以给出n阶行列式的定义. 定义3 这种利用低阶行列式逐次地给出高一阶行列式的定义的方法,称为递归(推)定义法 定义4 为了简化上述定义中的展开式的书写,我们引入代数余子式的概念. 定义5 称 的代数余子式 由上述定义5,(2.5)式可以表达为 解: