数学物理方法课程教材.ppt

参考教材( 国外优秀教材) 参考教材( 国内优秀教材) 序言将数学思想方法应用于现代高新技术专业领域，并构建成典型的数学物理模型和解决问题的方法，从而形成了科学研究中实用性很强的数学物理方法。数学物理方法既利用了精妙的数学思想，又联系了具体的研究任务和目标。脱离了数学思维，具体研究任务就失去了理论指导方法；脱离了所研究的对象（物理模型），数学思维就难以发挥其解决实际问题的巨大潜能。既非数学思想也非物理模型本身能达到尽善尽美，只有两者的有机结合才能形成推动人类科学技术赖以发展的动力之源。柯朗曾经描述：“从17 世纪以来，物理的直观，对于数学问题和方法是富有生命力的根源，然而近年来的趋向和时尚，已将数学与物理间的联系减弱了，数学家离开了数学的直观根源，而集中推理精致和着重于数学的公设方面，甚至有时忽视数学与物理学以及其他科学领域的整体性。而且在许多情况下，物理学家也不再体会数学家的观点，这种分裂无疑地对于整个科学界是一个严重的威胁。科学发展的洪流可能逐渐分裂成为细小而又细小的溪渠，以至于干涸，因此有必要引导我们的努力转向于将许多有特点的和各式各样的科学事实的共同点及其相互关联加以阐明，以重新统一这种分离的趋向”或许我们今天所应做的正是柯朗所指出的。数学物理方法也正是将这种分裂进行重新统一并实现有机结合的具体体现。数学物理方法第一篇复变函数论《复变函数论》主要内容第一章、复数与复变函数第二章、解析函数第三章、复变函数的积分第四章、级数第五章、留数第六章、保角变换第七章、傅里叶变换第八章、拉普拉斯变换第一章复数与复变函数一. 复数二. 复数的表示三. 复数的乘幂与方根四. 区域五. 复变函数六. 复变函数的极限七. 复变函数的连续复数的发展复数的引入需特别指出：可以证明当有三个不同的实根时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数开方( 参考：范德瓦尔登着《代数学》, 丁石孙译, 科学出版社，1963 年). 至此，我们明白了这样的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念. 卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数的地位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认识. “虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛卡儿（Descartes ）正式取定的. “虚数”代表的意思是“虚假的数”，“实际不存在的数”，后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界之外. 由此给虚数披上了一层神秘的外衣. 自从有了复变函数论，实数领域中的禁区或不能解释的问题，比如：负数不能开偶数次方；负数没有对数；指数函数无周期性；正弦、余弦函数的绝对值不能超过1；……等已经不复存在. 数学的思想一旦冲破传统模式的藩篱，便会产生无可估量的创造力.哈密顿的四元数的发明，使数学家们认识到如果可以抛弃实数和复数的交换性(即抛弃复数的基本性质)去构造一个有意义、有作用的新“数系”，那么就可以较为自由地考虑甚至偏离实数和复数的通常性质的代数构造，从而使得另一通向抽象代数的大门被打开.我们相信随着科学技术的不断发展，数学系统理论将不断地完善和自洽. 1.1 复数的概念及四则运算 复数概念 实数可以比较大小，是有序的，但复数不能比较大小，即复数是无序的. 尽管复数的实部和虚部均为实数，但是由于复数是实部和虚部通过虚单位联系起来，从而是不能比较大小的. 问：复数为什么不能比较大小？解释：复数是实数的推广，若复数能比较大小，则它的大小顺序关系必须遵循实数顺序关系的有关性质. 1. 四则运算1.2 复数的表示 复数的几何表示定义复数的几何表示直角坐标表示 共轭复数1.3 复数的乘幂与方根例求1的n次方根，并讨论根在复平面单位圆周上的位置. （12 ）有界区域：如果一个区域D可以被包含在一个以原点为中心的圆内部，即存在正数M, 使得区域D的每一点z都满足，那么D称为有界区域. （13 ）无界区域：根据上面的定义，非有界区域即为无界区域. 1.5 复变函数本章作业1.1:(3); (6) 1.3;1.4;1.6;1.8;1.10;1.12 1.13 ；1.14; 1.15 （1）；（3）；（5）；（6）1.16 计算机仿真实践练习1.19;1.20;1.22 例 判断代表什么样的区域？1. 复数的二项式定理例 正十七边形的几何作图讨论。1.4 复数典型综合实例* * 教材《数学物理方法》课程教材数学物理基础篇复变函数篇数学物理方程篇特殊函数篇计算机仿真篇十八世纪，瑞士数学家欧拉( Leonhard· Euler ，1707-1783 ) 试图进一步解释虚数到底是什么数，他把虚数称之为“幻想中的数”或“不可能的数”. 他在《对代数的完整性介绍》(1768 －1769 年在俄国出版，1770 年在德国出版) 一书中说：因为所有可以想象的数或者比零大，或者比零小，或者等于零，即为有序数. 所以很清楚