§2 数集·确界原理.pptVIP

作业 P9:4（1），（3），6（1） * §2 数集·确界原理 是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点. 一、区间与邻域 区间: 称为开区间, a b 称为半开半闭区间, a b 称为闭区间,  称为半开半闭区间, 闭区间 开区间 半开半闭区间 有界区间  x 无界区间 邻域 称为 称为 称为 称为 称为 有界集 定义1. 有下界的数集 下界 若数集 既有上界又有下界, 则称 为有界集. 若 不是有界集, 则称 为无界集. 二、有界集、确界原理 给出数集S无上界或无下界的数学定义； 给出数集S无界的数学定义。 思考 . 例1 证明数集 是无界集。 证明: 因而由无界集的定义得 为无界集。 M M2 M1 上确界 上界 m2 m m1 下确界 下界 先给 出 确界的 直 观 定 义 ： 若数集 S 有上界，则显然它有无穷多个上 界，其中最小的一个上界我们称它为数集 S 的上 确界 ，记作 S sup ；同样，有下 界数集的最大下界，称为该数集的下确界 ，记作 S inf 。 确界 上确界 sup S：最小上界 下确界 inf S：最大下界 定义2. (i) (ii) 对 , 有 , 即 是 的 上 界; 定义3. 上确界与下确界通称为确界. 注1 若数集 存在上（下）确界，则必唯一且 注2 数集S的确界可能属于S也可能不属于S. 何时数集S的确界必属于S？ 思考 例 1 （ 1 ） , ) 1 ( 1 t y ü ? í ì - + = n S n 则 . _______ inf ______, sup = = S S （ 2 ） { } . ) , 0 ( , sin p ? = = x x y y E 则 . _________ inf ________, sup = = E E 例 2 设 A 和 B 是非空数集, 若 对 A x ? 和 , B y ? 都有 y x ￡ 则 有 inf sup B A ￡ 证 A x ? 和 , B y ? 都有 , y x ￡ y T 是 A , 而 A 是 A 的最 小上界 . sup y A ￡ T 此式又 A sup T 是 B 的下界 , ￡ T A sup B inf （ B 的最大 下界）。 上界 sup 定理1.1(确界原理) 设S为非空数集. 若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,则S必有下确界. 2、 3、 上 * * * * * *