2粘性流体力学的基本方程-清华《粘液流体力学》.doc

第二章 粘性流体力学的基本方程 由于考虑了粘性剪切力，粘性流体力学的动力学方程必须与理想流体的动力学方程不同。这些方程的推导实际上就是经典力学的质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律在粘性流体力学中的具体应用。为了清楚了解推导过程，首先了解一下流体力学中表述流体运动的方法。 §1 表述流体运动的方法 流体力学中的研究方法有两种：欧拉法和拉格朗日法。 a、拉格朗日法 拉格朗日法在于给出每一个确定流体质点的特征参数随时间的变化情况。从微观上讲研究流体质点的运动轨迹，这是理论力学中质点动力学的研究方法的延伸。从宏观上讲，这个方法研究的是系统，用表示，这与热力学等研究的对象是一样的。 系统是包含了确定不变物质的集合。图2－1是流体中的一个系统，除了以外是外界，系统与外界的交界面叫做界面A0，系统有以下几个特征： 图2－1 流体中的系统 系统的边界A0随系统一起运动；边界A0上没有质量交换；在边界A0上可以有外力的作用；系统与外界之间有能量交换，包括传热和外力对系统所做的功 。 b、欧拉法 欧拉法在于给出每一瞬间占据流场每一空间点的流体质点的特征参数。从微观上讲，欧拉法不去跟踪流体质点的运动，而是研究流体质点在流过某一个几何点的运动状况，也就是说它的描述对象是流场。从宏观上讲，它研究的是控制体内的流场。 控制体，是空间某一个坐标系中，一个固定不变的几何体。控制体的表面叫做控制面A，在不同时刻，控制体被不同的流体质点所占据。控制面A有如下特点：控制面不随时间变化；在控制面上有质量交换，有流体的流进和流出；控制面上有外力作用；控制面上有能量交换，除了传热和外力做功外，还有内能和动能的流进和流出，以及动量的交换，这些是由质量的交换造成的。一般来说，流体力学多用欧拉法描述，这两种方法联系的桥梁就是质点导数公式和输运公式： 1、质点导数 质点导数用表示，为流场中某一个流体质点的矢量特征参数，在欧拉法中用质点导数公式（2－1）表示： （2－1） 式中第一项代表由时间的变化所引起的变化率，也就是由于场的时间不定性所造成的变化率，叫做局部当地导数。第二项代表假定时间不变时，流体质点在流场中的位置变化所引起的变化率。这是由于场的不均匀性造成的，叫做迁移导数。 2、输运公式（随体导数公式） 输运公式表示了系统（包括边界A0）与控制体（包括控制面A）两者之间有关物理量变化之间的关系。令t时刻，＝，A0＝A，那么： （2－2） 式中是流体中的某一个物理量，是控制面上的外法线方向上的流速分量。式（2－2）第一项表示由于控制体内物理量本身的变化所造成的变化率，也就是由于场在时间上的不定性所造成的；第二项是由于流动造成的变化率，也就是由于场在空间上的不均匀性所造成的。 现在证明式（2－2）。 图2－2 图2－2中，某一系统，A0。在t时刻，＝，A0＝A，在时刻，时，A0＝， ＝。系统中流体某一个物理量在时间间隔中的变化为： 由微分中值定理 其中，当时，体积趋近于，所以： 若以dA表示A1面上的微元，由图2－2可知，在内经过dA的流体，必须是以dA为底面，以向量为边长的柱形体积，此体积大小为（为dA的外法线），故： 在A2面上的速度的法线分量为负值，所以相应的柱形体积为，故： 上述三式合在一起就可得到（2－2）式。 输运积分可以写成以下几种形式： （2－3a） （2－3b） （2－3c） （2－3d） 现证明（2－3a）式： 由（2－2）式可得： 右边第二项根据高斯公式可以写成： 根据（2－1）式即可证明（2－3a）式成立。 §2 连续方程 连续方程是质量守恒定律对于运动流体的表达。由于不涉及力，因此不存在粘性流体和非粘性流体的差别。 对于系统来说，连续方程就是表示其质量不随时间变化： （2－4） （2－4）式就是拉格朗日型连续方程的积分表达式。对于控制体，可以从（2－2）式推导出连续方程 （2－5） 上式表明，由于密度的变化使控制体内的质量增加，加上流出控制体以外的质量等于零。根据高斯公式可以得出： （2－6） （2－7） 式（2－5），（2－6）和（2－7）是连续方程的欧拉型积分形式。由式（2－6）和（2－7）的被积函数是连续的，可以任选，那就可以马上得出欧拉型微分方程的微分形式： （2－8） （2－9） 对于定常流动，即