3层流-清华《粘液流体力学》.docVIP

第三章 层流 粘性流体运动的性质由惯性力与粘性力之比——雷诺数决定的。如雷诺试验所确定的那样，在雷诺数不大时，流动呈层流状态，流体做规律的运动。在某些简单的边界条件情况下，可以得到层流流动的精确解，这对于了解Navier－Stokes方程的性质以及理解粘性流动都有帮助。 §1 平行流动 粘性流动的动量方程应包括粘性项，是二阶偏微分方程，应采用物体表面上流速为零的边界条件。平行流动是流动中最简单的一种。平行流动中，所有的质点均沿同一方向流动，即只有一个速度分量不等于零，令其为x方向，即u≠0，而另外两个y，z方向上速度分量v，w均为零。从连续方程可以得出，因此对于平行流动： （3－1） 进而从Navier－Stakes（简化为N－S）方程可以得到，于是压强p只是x的函数，而且在x方向的N－S方程中，所有迁移导数为零： （3－2） 这是一个二阶线性偏微分方程。 Couette流动 Couette流动是两个平行壁面间的平行流动，一个壁面静止不动，另一个壁面以速度U沿x轴运动（图3－1）。由于粘性，运动壁面将带动流体运动。通过流体的内摩擦，这个运动的影响传播到整个流动区域。设上下两个壁面的宽度为无穷远，流动为二维恒定平行流动，因而u＝f（y），方程（3－2）将有以下形式： 3-1 图 3－1 平行平板间的流动 图 3－2 Couette流动的速度分布 （3－3） 由于，p只是x的函数；又由于u只是y的函数，故只是y的函数，那么常数。 （3－4） 边界条件为： （3－4）式积分并代入边界条件则得： （3－5） 令为量纲为1的压力梯度称为Brinkman数。那么（3－5）解的量纲为1的形式为： （3－6） 不同B值时，曲线如图3－2所示： 当，顺流压力梯度为零时： 流速为线性分布称为简单的Couette流动。 当B0，，压力顺流递减称为顺压梯度，在整个断面上流速为正值，当B值很大时，流动接近下面的Poiseuille流动的抛物线分布。 当B＝－1时： 令则： 可见曲线为凹曲线，在时，曲线与y*轴相切。为流动要产生回流的临界状态。 在B-1时，，压力沿流动递增为逆压梯度情况，流动在靠近下壁为负值有回流出现。这就是说明由于流体的带动上壁的运动速度传到下壁附近时，不足以抵抗逆压梯度的作用，而产生反向回流。 Poiseuille流动 平面Poiseuille流动 在两个平行平板之间充满粘性流体，上下两板均静止不动，而顺压梯度，坐标系仍如图3－1所示。方程仍如（3－3）式，边界条件为： 流动的解为： （3－7） 将方程（3－5）和（3－7）比较，可以看出：有压梯度的Couette流动是简单Couette流动和Poiseuille流动的叠加。 充分发展的管流——圆管中的Poiseuille流动： 当管道很长时，除了进口段，可以认为管流为二维流动，采用圆柱坐标（r，，z）系，连续方程为： 其中，均为0。只有不为零，令u＝。可以看出，即流速分布沿管的轴线x是相同的，如图（3－3）所示。 图 3－3 圆管中的Poiseuille流动 N－S方程为： （3－8） 由于只能是常数，式（3－8）简化为； (3－9) 积分时，代入边界条件： 最后得出圆管中Poiseuille流动的速度分布： （3－10） 其分布为旋转抛物面，圆管中心处最大流速umax： 断面平均速度： （2－11） 断面的过流量Q为： 上述公式只限Re2300的层流，对于湍流流速分布规律就完全不同了。 引入圆管层流的水头损失系数，令为： (2－12) 代入上述平均速度公式，即可得出： （2－13） 其中雷诺数。 由图3－4可见～Re曲线的试验值与（2－13）式的理论计算能很好的吻合。 图 3－4 突然以匀速滑动的平板引起的流动——Stokes第一问题 图3－5 在流体中不定常滑移的平板 图3－6 突然以匀速U0运动的平板引起的速度分布 现在研究不定常的平行流。其中最简单的例子是一个突然瞬间加速，并以匀速U0滑动的平板，所引起周围粘性流体的流动，坐标如图3－5所示。N－S方程简化为： （3－14） 压力在整个空间为常数，因此其梯度为0，边界条件和初始条件为： （3－15） （3－14）方程与下述的热传导方程相似，在t＝0时壁面y＝0突然加热到某一温度T0。因而引起整个空间的热传导的温度场。现令量纲为1的坐标： 并假设，则方程（3－14）变化为常微分方程： 则： 常微分方程的解： （3－16） 式中： erfc称为补偿误差函数；erf为高斯误差函