5层流不稳定性和转捩-清华《粘液流体力学》.docVIP

第五章 层流不稳定性和转捩 随着雷诺数的增加，不论管流还是边界层流动，都将产生从层流到湍流的转捩。产生湍流的原因和在什么条件下将从层流过渡到湍流，是粘性流体力学的主要问题。近几十年来已取得了巨大进展，但圆满地解决这个问题还相差很远。 §1 层流向湍流的过渡 雷诺的试验（1883）证实真实流体的流动有两种流态—层流和湍流，此试验和以后的试验都表明，当雷诺数小于下临界雷诺数时，流动为层流，当大于上临界雷诺数时，流动为湍流，在两者之间时，是从层流到湍流的过渡阶段。对于管流，雷诺确定： 下临界雷诺数是比较肯定的，但上临界雷诺数与进口条件、进口扰动有关。 处于从层流到湍流的过渡状态时，水流的湍动具有间歇性质：一会儿产生湍动，一会儿消失。反映在瞬时流速上，一会儿脉动强烈，一会儿较弱甚至于没有脉动。图5－1中的流速过程线b就是水流处于过渡状态下测得的，它不同于层流（a线），也不同于湍流（c线），而是介于两者之间。为了表述过渡状态下层流和湍流交替出现的物理性质，通常用“交替系数r”（间歇系数）表示： 即在一定位置一定时间内呈现湍流的时间与全部时间之比。如果r＝1，运动处于湍流状态，r＝0处于层流状态。 图5－1 圆管不同流态的瞬时流速（Jonsson） J.Rotta曾专门测量了管道流中，处于过渡状态时的流动过程线，测量结果表明（图5－2）： 在距离管中心附近各点，呈现层流时的流速大于呈现湍流流态时的时均流速。 b、在过渡状态，在同一临界数下，离管进口越远，r越大。 在固体表面附近的边界层也存在从层流到湍流的过渡问题。边界层的流动有的是层流边界层，有的是湍流边界层。从层流边界层到湍流边界层的转捩与很多因素有关，其中包括外部流动的湍动度，压力变化以及壁面粗糙度。 不清楚，重新弄 图5－2 圆管中过渡区流速过程线（Rotta） 层流到湍流的转捩是由层流的不稳性造成的，为此我们首先研究层流的不稳性问题。当雷诺数很大时，层流不稳定，微小的扰动就会使流动立即转捩为湍流。在雷诺数适中的情况下，层流对于一般规模的扰动也是不稳定的，当雷诺数很低时，即使很强烈的扰动，层流流动也不会呈现不稳定状态，这些扰动将会衰减下去。 本世纪三十年代关于层流不稳定理论才取得了一定的进展。其中有L.Reyleigh和Prandtl学派，确定了层流向湍流过渡的临界雷诺数。H.L.Dryden通过试验证实了不稳定理论。五十年代林家翘和史利特金（Γ.WNUXTUHZ）等对不稳定理论做了全面的论述。 层流的不稳定性可以通过流动对扰动的反应来判断。原则上有两种方法：能量法和小扰动法。能量法通过分析扰动能量的衰减或增长来判断稳定性，不过未能得到广泛的应用。小扰动法是分析小扰动振幅的衰减或增长来判断稳定性。这是目前流行的方法。现在讨论小扰动法，假定扰动是二维的。H.B.Squire（1933）研究了二维层流中的三维扰动的不稳定问题，证实了，在考虑三维扰动时，层流失去稳定的临界雷诺数比只考虑二维扰动时的临界雷诺数大。这就说明了二维扰动更易使层流失去稳定性。因此在研究临界雷诺数中，采用二维扰动更加合理。 §2 小扰动法 小扰动法的基本方程 使用小扰动法考虑二维不可压流动的扰动问题，为使问题简化，考虑平行流动，即假设： （5－1） 式中，分别为x、y、z方向的流动速度。现在，在上述平行流动中，存在一个二维的扰动，扰动的速度分量分别为和压力扰动分量。在这里表示的流动为基本层流流动，并且令扰动是微小的，因而有： 同时可以认为，平行层流流动与微小扰动合成的流动，是上述两种流动线性叠加在一起的结果，即： （5－2） 可以认为基本的平流层流U（y），以及合成后的层流均满足N－S方程。对于后者： （5－3） 由于是小量，其二阶项可以忽略，当把式（5－2）代入式（5－3）后可以得到： （5－4） 对于基本层流当代入N－S方程后可以得到： （5－5） 式（5－4）减去式（5－5）后，可以得到扰动分量所满足的方程及边界条件： （5－6） 在壁面上， 消去压力项后，方程为： （5－7） 式（5－7）为由两个方程所组成的偏微分方程组，共有两个未知数，故在一定的边界条件和初始条件下，方程组（5－7）是可解的。 2、Orr－Sommerfeld方程 可以认为叠加在基本层流上的两维扰动是一些沿x方向传播的波动合成的。在极小扰