常微分方程的常数变易法及其应用.doc

常微分方程的常数变易法及其应用 （西北师范大学知行学院 甘肃 兰州 730070） [摘 要]本文归纳整理了常微分方程常数变易法的几个应用. [关键词]常数变易法; 微分方程; 齐次; 系数 Constant Variating Method and Application in Ordinary Differential Equation Zou Pengchao (Zhixing College of Northwest Normal University Gansu Lanzhou 730070) Abstract This paper is summarised several applications of constant variating method in ordinary differential equation Keywords constant variating method ; differential equation ; homogeneous coefficient 一、关于常数变易法 常数变易法是微分方程中解线性微分方程的方法，就是将齐次线性微分方程通解中的变换为函数,它是拉格朗日(Lagrangr Joseph Louis,1736-1813)十一年的研究成果，微分方程中所用的仅是他的结论。 二、常数变易法的几个应用 1.常数变易法在一阶线性非齐次微分方程中的应用 一阶线性非齐次微分方程 （1） 它所对应的齐次方程为 （2） 是变量分离方程，它的通解为 （3） 下面讨论一阶线性非齐次微分方程（1）的解法。 方程（2）与方程（1）既有联系又有区别设想它们的解也有一定的联系，（3）中的恒为常数，它不可能是（1）的解，要使（1）具有形如（3）的解，不再是常数，将是的待定函数，为此令 （4） 两边积分得到 将（4）．（5）代入（1），得到 （5） 即 两边积分得 （6） 这里是任意的常数，将代入得到 这就是方程 的通解 例1 求方程的通解，这里的为常数. 解 将方程改写为 （7） 先求对应齐次方程 的通解，得 令 （8） 微分得到 （9） 将（8）、（9）代入（7）中再积分，得 将其代入（8）中，即得原方程的通解 这里是任意的常数 例2 求方程的通解. 解 原方程改写为 （10） 把看作未知函数，看作自变量，这样，对于及来说，方程（10）就是一个线性 先求齐次线性方程 的通解为 （11） 令，于是 代入（10），得到 从而原方程的通解为 这里是任意的常数,另外也是方程的解. 初值问题 为了求初值问题 常数变易法可采用定积分形式，即（4）可