线性代数课件_第二章 矩阵 第三节 逆矩阵.pptVIP

* 第三节 逆矩阵 可逆矩阵 正交矩阵 在数学运算中，数 b 除以非零数 a 的运算 可用乘法表出为 其中非零数的“倒数”（乘法逆） 可用式 定义。 受此启发，对方阵的情形，就从讨论类 似的等式出发，建立可逆矩阵的概念。 一 可逆矩阵 定义 3 对给定的矩阵A，如果存在矩阵B，使 AB = BA = I 则称 A为可逆[矩]阵， 并称适合（2-13） （2-13） 的矩阵 B 称为 A 的逆[矩]阵; 可逆矩阵也称为 非退化[矩]阵，也常被称为非奇异[矩]阵 成立， 的做法，姑且称之为单位阵技巧， 定理 4 如果 A 是 可逆阵，则其逆阵是唯一的. 在证明过程中巧用 及 阵等式中常用的一种技巧. 这是在证明矩 而称不存在逆阵的方阵为退化[矩]阵或奇异[矩]阵. 这样，根据定义可容易地推知， 单位阵必为 可逆阵，且其逆阵即为自身 I -1 = I. 由于可逆矩阵 A 的逆矩阵是唯一确定的， 故可用确定的符号记之为 A-1 ，有 A A-1 = A -1 A = I. (2-13′) 例 13 试证对角阵 是可逆矩阵，并求出 A-1 利用逆矩阵概念，可方便表出线性代数方程 组的解 . 事实上 , 对 n×n （即 n个n 元）线性代 数方程组 Ax = b 当 A 是可逆矩阵时，可表出其解为 x = A-1 b ， 这是因为由 A 为可逆阵，可知 A-1 存在， 用 A-1 同时[左]乘方程的两边， A-1 Ax = A-1 b 即 x = A-1 b 可得 可逆矩阵有以下两定理表示的性质 定理 5 若 A 为可逆矩阵 ，则 A -1、 k A（ k 为任一非零常数 ）、 AT 皆为可逆阵， ( A-1 ) -1 = A ( AT ) -1 = ( A -1 ) T. 且 定理 6 若 A、B 为 同阶的可逆矩阵，则 AB 也是可逆阵， ( AB ) -1 = B -1A -1 . （2-14） 注意到式（2-14）与 式具有类似 的形式， 但这里是以 A、B 均可逆为前提条件的. 且成立 若采用 后引进的术语， 看作是向量的线性变换， 则 A-1可解释成对 A 的 逆变换（还原）， 而 AB 可看成是先经 B 的再受 A 的接连变换， 个平凡的事实： 这样，式 只表明了一 自然应对后变的A 先还原，先变的 B 后还原！ 在生活中也能找到对应的“解释”. 当要对 AB 变换的结果还原时， 对于在式 表现出的去括号的特性， 将矩阵 A 通常，在穿衬衫及外套准备外出时，总是先 穿衬衫再穿外套. 但在回家休息要宽衣时，顺 序则是相反的，总是先脱外套再脱衬衫. 这个定理可推广到对任意有限个矩阵都成立. A1 A2 … Ak 也可逆, 推论 若已知 A1 , A2 , … , Ak 为同阶可逆阵，则 ( A1 A2 … Ak ) -1 = Ak-1 … A2-1A1-1 . (2-14′) 且 例 14 设已知 A 、B 及 A+ B 均为可逆阵， 试证 A-1 + B-1 也是可逆阵，并求出其逆矩阵. *