线性代数课件_第六章 矩阵特征值问题.pptVIP

第六章矩阵特征值问题本章讨论矩阵特征值与特征向量的概念、性质；导出矩阵对角化的条件、方法；建立实对称矩阵的谱分解式.在指出实对称矩阵与二次型的对称关系后，得到化二次型成标准型的正交变换方法；进领域的一些应用示例.本章讨论都是方阵，后两节更限于实对称矩阵. 一步根据惯性律对二次型作了分类，并讨论正定矩阵的概念、应用和判定方法；还介绍了矩阵方法在常微分方程组、统计、解析集合及优化等6.1 特征值与特征向量定义1 设A是n阶方阵，若存在n维非零向量，则称数为A的特征值或本征值(eigenvalue), 并称此非零向量x为属于的特征向量或本征向量(eigenvector). (6-1) 使是矩阵分别属于特征值1 =1, 2=-5 的特征向量. 例1 简单地作乘法就可验证因为有可以把且仅当{N(A- I) ≠0} 时，为A的特征值，而N(A- I) 中的任一非零向量皆为A属于的特征向量，称N(A- I) 是矩阵A属于特征值的特征(6-1 ) 的形式. 的全体x 是N(A- I). 子空间. 改写成当满足根据齐次方程组的理论，当且仅当时N(A- I) ≠{0}. 将(6-2) 的n阶行列式展开，可得(6-2) 一个的n次多项式这是一个的n次代数方程.特征多项式的零点或称为A的特征多项式，而称(6-2) 是A的特征方程，def 次的特征方程在计及根的重数时应共有个n实根或其中可能有重复的，也可能有的是复数. 特征方程的根是特征根，也就是A的特征值. 所以n阶矩阵A有n个特征值1 , …, n, 当然{ 1 , …, n} 为矩阵A的谱(spectrum). {| 1| , | 1| ,…, | n|} 大值称为A的谱半径,记作ρ(A), 即(6-3) 这个n 复根. 称集合并将解是关于及x1,x2 的非线性方程组，为解决问题，需对应的特征向量. 写出特征方程注意到定义式现在的或分两步进行：分别对= 1 , 2解齐次线性代数方程组(6-1 )以求先解特征方程求出特征值1 , 2后此即故得两个特征值以求特征向量．对1=1, 有对各个特征值，解对应于的齐次方程组，因为故解得故常将特征子空间N(A- I) 的基向量当作矩阵A 属于的特征向量.因为向量空间的基并不惟一地确定，故属于特征值的特征向量之形式的确定，是具有一定任意性的.在特征向量是单位向量时，称为规范特征向量.对确定的特征值属于, 也可由N(A- I) 任一组基，作出矩阵A属于的全体特征向量，由N(A- I) 的通解所表出，但要从中剔除零向量. 所以可将属于特征值1=1 的特征向量取为或对于2=-5, 代入有解故属于2=-5 的特征向量可取为或得(6-1) (6-1 ) (6-1 ) (6-1 ) 解特征多项式为故特征方程有根对于1=0, 为可解得对应的特征向量对于2= 3=1, 为即得或故对不全为零的t1, t2, 上式表出属于=1 的全部特征向量,特别,可取对应于特征值=1 的特征向量x2 及x3 为(6-1 ) (6-1 ) 解特征多项式为故得其零点,即A的特征值为可求出对应的特征向量其中是虚数单位,如果利用复数进行运算,也证明根据多项式因式分解与方程根的关系知, 有如下恒等式: 以=0 代入上述恒等式,即得为证看右端,(- )n-1 的系数为1 + 2 +…+ n看左端,含(- )n-1 的项必来自det(A- I) 的对角线元素乘积项可比较以上恒等式两端的系数. 因而,(- )n-1 的系数是这就是矩阵A的迹(trace), 记作tr(A) 因恒等式两边同次幂系数必相等,而得证毕(6-4) (6-5) 证明根据多项式因式分解与方程根的关系知, 有如下恒等式: 以=0 代入上述恒等式,即得为证看右端,(- )n-1 的系数为1 + 2 +…+ n看左端,含(- )n-1 的项必来自det(A- I) 的对角线元素乘积项可比较以上恒等式两端的系数. 因而,(- )n-1 的系数是这就是矩阵A的迹(trace), 记作tr(A) 因恒等式两边同次幂系数必相等,而得证毕(6-4) (6-5)