线性代数课件_线性代数 第5章 向量空间初步 第四节 向量空间的基和维.ppt

第四节向量空间的基和维复习内积再论正交阵四个基本子空间* 复习在普通向量代数中，利用向量的长度、夹角等概念，可几何地规定两向量a与b的内积(那时称标量积或数量积). (5-22) 其中的记号表向量的范数(那时称模或长度)而θ为向量a与b的夹角, ( 0 ). 记作a,b( 那时记作称范数为1的向量是单位向量，每个非零向量a 均可规范化，得出该方向的单位向量.因从(5-22) 可得故有(5-23) 即.称夹角是即cos =0 的a与b 是正交向量. 互正交的充分必要条件是(5-24) 从(5-24) 及图5-2 可见从(5-22) 易得，两个非零向量a与b相记号ba 表示b在a上的投影值，ba=||b||cos . 但b在a上的投影向量是从图5-2 可见，残差向量b a b-baea (5-25) 与a是正交的.当然，这也可直接考察内积a,r 而予证实：(5-26) 对空间直角坐标系的坐标轴方向的单位向量i,j,k 有若给出向量a,b 的坐标表示则其内积为从而可能利用向量的坐标，代数地计算出向量范数、(5-22 ) 判定向量的正交性直到求出投影向量、残差向量等. 例如有而非零向量a,b 正交的充要条件是(5-23 ) (5-24 ) 内积再论正交阵对Rn 本无几何直观而言，但可借助普通向量内概念，通过与普通向量的类比，从而发展一些几何概念，并对有关算式作几何解释. 积的计算式，自然地在中引进内积的定义10 对的向量a,b, 称数为a,b 的内积，即(5-22 ) (5-27) 常称定义了内积的向量空间或其子空间为内积空间. 于是，带(5-27) 作内积定义的向量空间Rn 是内积或称为欧几里得空间(Euclid, 活动于约公元前300 年,古希腊数学家). 仿照普通向量的算式，可用代数方式在Rn 中定义一些几何概念:如向量范数，对a∈Rn , 显然，当且仅当a=0 时||a||=0; 单位向量，a∈Rn , 的规范化向量；b在a(a≠0) 上的投影向量为并且残差向量是;称使的向量与是正交向量, 记作a⊥b. ||a||=1; 向量的规范化，若a∈Rn ,a≠0, 则为a 例15 给定R4 的两个向量可算出而u在v上的投影向量为残差向量是残差向量与向量v是正交的，因其内积为以下两个定理，揭示了正交性与线性无关性这两个概念间的关系，这在几何上是非常明显的. 定理9 设v1 、…、vk 是一组两两正交的非零向即|| vi || ≠0 (i=1,…,k) 以及则v1 、…、vk 线性无关. 量，这样，n维向量空间任意n个两两正交的非零向量必为空间的基，称为正交基. 向量都是单位向量时更称为规范正交基. 的自然基e1 、…、ek 是一组规范正交基, 其中ei 为n阶单位阵I的第i列. 当正交基的每个基显然，Rn 定理10 （Gram-Schmidt 正交化方法）设b1 、…、bk 是内积空间V的基. 对i=1,…,k-1 令(5-28) 则g1 、…、gk 就成为的正交基. 则就是的一组规范正交基. (5-29) 若令若进一步对令定理的证明留作习题，可用数学归纳法完成. 这里要指出，在i=1 时，按(5-29) 算出的g2 ，正是b2 向g1 投影而得的残差向量，所以与g1 是正交的(参看图5-2 ，这里分别看作图中的). 解(5-28) 、(5-29) 表出的格拉姆-施密特正交化方法的几何背景. 这有助于了例16 设有矩阵试求列空间R(A) 的一组正交基. 现再讨论在2.3 节定义的正交矩阵概念与这里的正交概念之联系.按定义，一个n阶方阵A满足或时为正交矩阵，若将A按列分块则上式即为将最后的矩阵等式写成其元对应相等的n2 个数量等形式，即为对1≤i,j≤n 成立故可说，n阶方阵为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量为Rn 的一组规范正交基. (5-30) (5-22 ) 解首先P是方阵，是4阶矩阵.其次，也容易看出其行向量的规范正交性，故知P是正交矩阵，此时有证明从定义出发，考察该组向量的零线性组合依次就s = 1,…, k ，与vk 作内积，有即由所给条件可推得又因(vs)Tvs≠0, 故可从推得故知v1 、…、vk 线性无关. 证毕证明从定义出发，考察该组向量的零线性组合依次就s = 1,…, k ，与vk 作内积，有即由所给条件可推得又因(vs)Tvs≠0, 故可从推得故知v1 、…、vk 线性无关. 证毕解设按(5-28) ，可令由(5-29) ，可验证，g1, g2, g3 确是两两正交的.若再进一步令则为R(A) 的规范正交基.