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空间中的角和距离 编辑整理：烟花四月 1．解立几题要有化平几思想：所有求空间角与距离的问题最终都要转化到平面上求解，有时还可以将要求的角（或线段）所在的平面分离出来，这样清楚醒目，便于求解，不易出错。 2．研究异面直线所成的角通常有两种方法。①通过平移使之成为一个平面角，然后解三角形求得；②在空间直角坐标系中利用向量的夹角公式。[注意] 异面直线所成角的范围是：（00，900]， 如： cos ，=-,则异面直线 a, b所成的角为 arccos。 [举例] 如图, 已知两个正四棱锥 的高分别为1和2, ，(Ⅰ) 证明: ; (Ⅱ) 求异面直线AQ与PB所成的角; 解析：(Ⅰ)记AC、BD交于O，连PO、QO， 则PO⊥面ABCD，QO⊥面ABCD，∴P、Q、O 共线，PQ⊥面ABCD；[来源:Z§xx§k.Com]PN，BN， ∵，∴，故AQ∥PＮ. ∠BPＮ是异面直线AQ与PB 所成的角（或其补角）. ∵ ∴ 故异面直线AQ与PB所成的角是． 方法二：“建系”：由题设知，ABCD是正方形， ∴．由（I），平面，故 可以分别以直线CA、DB、QP为轴，轴， 轴建立空间直角坐标系（如图1-2），由题设， 相关各点的坐标分别是，，，， ,于是 注：在“平移”时常用到一些平面图形的性质，如：三角形的中位线、梯形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理的逆定理甚至三角形相似等。 [巩固1]异面直线 a, b所成的角为600，则过空间中一点P与a, b都成300的直线有几条？与a, b都成500的直线有几条？与a, b都成600的直线有几条？与a, b都成700的直线有几条？[变形]过大小为600的二面角外一点P作与它的两个面都成600的直线有几条？ [巩固2 ]设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－－BB，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________． 3．直线与平面所成的角要“抓住”直线在平面内的射影，然后在直角三角形内求得；直线与平面所成的角是直线与平面内任意直线所成角的最小值。线面角的范围：[00，900]。 [举例1] 在如图3-1所示的几何体中，平面， 平面，，且，是的中点．求与平面所成的角． （07高考浙江理16） 解析：方法一：“找射影”。过M作MF⊥ED于CM⊥AB，CM⊥AE得CM⊥面ABDE，故CM⊥ED， ∴ED⊥面CMF，于是有面CED⊥面CMF于CF，过M作MH⊥CF 于H，则MH⊥面CED，∴∠MCH为与平面所成的角；[来源:Zxxk.Com] 设，， 在直角梯形中， ，是的中点，[来源:Zxxk.Com] 所以，，， 得是直角三角形，其中，∴MF= 在中，CM=MF，∴ ，故与平面所成的角是． 注：“作垂面”是求作点M在面内的射影的最重要、最常用的方法，其过程是：过M点作平面⊥于，则M在面内的射影M/∈。 方法二：“建系”。如图，以点为坐标原点，以， 分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为 轴，建立直角坐标系，设，则， ，．，． 设向量与平面垂直， 则，，即n·=0 , n·=0,∵，， 得：，，即，由向量夹角公式得：cos n,=, 直线与平面所成的角是与夹角的余角，所以， 故直线与平面所成的角是． 注：线与面的法向量所成的角与线面角互余；注意到线面角不为钝角，故：AB与面所成的角为：arcsin（为面的法向量）。用法向量求线面角，以计算代替说理（找射影），最大限度地实现了“去逻辑化”，为疏于逻辑思维的同学求线面角提供了一条相对方便的路径；但是，并非所有的空间形体都可以建立适当的坐标系。 [举例2]如图3-1，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点. 求CD与平面ADMN所成的角。 [来源:学科网ZXXK] [来源:学科网] 解析：确定C点在面ADMN上的射影Q的位置很困难。方法一：“射影悬空”。先不管Q点的位置，∠CDQ为CD与平面ADMN所成的角，入图3-2；记BC=a,在Rt⊿CQD中，CD=a,只需求出CQ（C到面ADMN的距离）即可，记为h；注意到，不难知道[来源:学科网ZXXK] ⊿AMD中AD边上的高为AN，AN=a,∴=a2；=2a2，M到面ACD的距离为a， ∴h=a,故在Rt⊿CQD中，∠CDQ= arcsin。注：射影“悬空”求线面角的“革命”性意义在于绕开了求线面角中最困难的一步——确定射影的位置，把问题化归为求点到面的距离；而求点到面的距离可以通过“等积转换”实现，并不需要知道射影的确切位置。 方法二：“平移”线段。取AD中点E，连BE，如图3-3，易见：BE∥CD，∴CD与平面A