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* 空间中的角与距离 立体几何专题复习 之二 空间中的角 α a b α b α β m b’ a A B P 00θ≤900 00≤ θ≤900 00≤θ ≤1800 三种角的定义 两异面直 线所成角 直线与平面所成角 二面角 空间角的计算步骤：一作、二证、三算 空间中的角解法小结 1、异面直线所成角的方法 （1）平移法（2）补形法 2、直线与平面所成角的方法 关键：抓垂足、斜足，找斜线在平面内的射影。 当二面角的棱已知时： （1）定义法 (2)垂面法 （3）三垂线定理法 寻找平行平面，将问题转化 3、二面角 找二面角的棱,进而找棱的两条垂线 当二面角的棱未知时： 利用射影面积公式S′=Scosθ ［例］在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点. (1)求证：四边形B′EDF是菱形； (2)求直线A′C与DE所成的角； (3)求直线AD与平面B′EDF所成的角； (4)求面B′EDF与面ABCD所成的角. (1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′= a,下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG， 由EG AB A′B′知，B′EGA′是平行四边形. ∴B′E∥A′G,又A′F DG,∴A′GDF为平行四边形 ∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面 故四边形B′EDF是菱形. (1)求证：四边形B′EDF是菱形 (2)求直线A′C与DE所成的角 (2)解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P， 则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成角. 在△A′CP中，易得A′C= a，CP=DE= a, A′P= a 由余弦定理得cosA′CP= 故A′C与DE所成角为arccos (3)求直线AD与平面B′EDF所成的角 (3)解：∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上.如图所示. 又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线， 故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′ 在Rt△B′AD中，AD= a，AB′= a,B′D= a 则cosADB′= 故AD与平面B′EDF所成的角是arccos . (4)求面B′EDF与面ABCD 所成的角 再作HM⊥DE，垂足为M，连结OM，则OM⊥DE， 故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角. 在Rt△DOE中，OE= a, OD= a,斜边DE= a, 则由面积关系得OM= a 在Rt△OHM中，sin ∠ OMH= 故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin 作OH⊥平面ABCD， 则H为正方形ABCD的中心， 1. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( ) A. B. C. D. A B D C A1 B1 D1 C1 O M P A B D C A1 B1 D1 C1 O M E 2.已知∠AOB=90°,过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45°、60°，则以OC为棱的二面角A—OC—B的大小为_________. C A B O arccos - 3、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=1/2 ， 则面SBA与面SCD所成的二面角的大小是 。 s A B C D s A B C D E M N E F G P 如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,AE⊥PD,EF∥CD,AM＝EF (1)证明MF是异面直线AB与PC的公垂线； (2) 若PA= 3AB,求二面角 E—AB—D平面角的正弦值. (3)若PA=3AB,求直线AC与 平面EAM所成角的正弦值. P A B C D E F M （1）证明：因PA⊥底面, 有PA⊥AB,又知AB⊥AD, 故AB⊥面PAD,推得BA⊥AE,又AM∥CD∥EF,且AM=EF, 证得AEFM是矩形, 故AM⊥MF. 又因AE⊥PD,AE⊥CD, 故AE⊥面PCD,而MF∥AE,得MF⊥面PCD,故MF⊥PC,因此MF是AB与PC的公垂线. P A B C D E F M P A B C D E F M （2）由（1）知AE⊥AB,又AD⊥AB,故∠EAD是二面角E—AB—D的