《高等数学》(下)试卷与答案.doc

同济大学高等数学（下）期中考试试卷1 一.填空题（每小题6分） 1.有关多元函数的各性质：（A）连续；（B）可微分；（C）可偏导；（D）各偏导数连续，它们的关系是怎样的？若用记号“”表示由可推得，则 （ ）（ ）. 2.函数在点处的梯度为 ，该点处各方向导数中的最大值是 . 3.设函数可微，则柱面在点处的法向为 ，平面曲线在点处的切向量为 . 4.设函数连续，则二次积分 . (A) ； (B) ； (C) ； (D) . 二.（6分）试就方程可确定有连续偏导的函数，正确叙述隐函数存在定理. 三.计算题（每小题8分） 1.设是由方程所确定的隐函数，其中具有连续的偏导数且，求的值. 2.设二元函数有连续的偏导数，且. 又函数与由方程组（）确定，求复合函数的偏导数，. 3.已知曲面上的点处的切平面平行于平面，求点处的切平面方程. 4计算二重积分：，其中是以直线，和曲线为边界的曲边三角形区域. 5.求曲线积分，为曲线沿从0增大到2的方向. 五.（10分）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”；同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高. 证明：球半径为高为的球冠的面积与整个球面面积之比为. 六.（10分）设线材的形状为锥面曲线，其方程为：，，（），其线密度，试求的质量. 七.（10分）求密度为的均匀柱体，，对位于点的单位质点的引力. 同济大学高等数学（下）期中考试试卷2 一.简答题（每小题8分） 1.求曲线在点处的切线方程. 2.方程在点的某邻域内可否确定导数连续的隐函数或或？为什么？ 3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路： 设椭球面与平面没有交点，求椭球面与平面之间的最小距离. 4.设函数具有二阶连续的偏导数，是的一条等高线，若，求. 二.（8分）设函数具有二阶连续的偏导数，求. 三.（8分）设变量满足方程及，其中与均具有连续的偏导数，求. 四.（8分）求曲线在点处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分），其中是顶点分别为..的三角形区域. 六.（8分）求函数在圆上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为，是山脚即等量线上的点. （1）问：在点处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率； （2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点使得上述增长率最大，请写出该点的坐标. 八.（14分） 设曲面是双曲线（的一支）绕轴旋转而成，曲面上一点处的切平面与平面平行. （1）写出曲面的方程并求出点的坐标； （2）若是.和柱面围成的立体，求的体积.