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从菱形的面积到对角线互相垂直的四边形的面积
如果仅知道菱形两条对角线的长,你能求出菱形的面积吗?
画画图,想想菱形的对角线有什么性质呢?
不难发现,菱形对角线将菱形分成了四个直角三角形,这四个直角三角形还是全等的呢!(你能证明吗?)
于是菱形面积就等于四个三角形面积之和,
即=+++=4=4()=4()=.
原来菱形的面积还可以由对角线求出呢!
回顾一下解决问题过程吧。我们解决问题的切入点是利用菱形对角线互相垂直平分的特点,那么如果我们弱化条件,例如将条件改为“对角线相互垂直”或者“对角线相互平分”,此时的四边形的面积还能利用对角线乘积的一半表示吗?
先看看“对角线相互垂直”的情况吧。
这时和菱形情况类似,四边形也被对角线分成了四个直角三角形,那么=+++=AO×OD+AO×BO+OC×OD+BO×OC=AO×(OD+OB)+OC(OD+OB)=(AO+OC)×BD=AC×BD.
于是我们得出的结论是:对角线互相垂直的任意四边形的面积等于对角线乘积的一半。
“对角线相互平分”的情况又如何呢?此时的四边形是什么四边形?还有“面积等于对角线乘积的一半”的结论吗?这个小问题就留给你思考吧。
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