初级中学三年级数学-三角形及其全等、相似.doc

三角形及其全等、相似 【基础知识】 (1)三角形 ①三角形的任意两边之和大于第三边； ②三角形的任意两边之差小于第三边； ③三角形三个内角的和等于180(； ④三角形三个外角的和等于360(； ⑤三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； ⑦三角形的角平分线、中线、高； ⑧三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等； ⑨三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等； ⑩连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． (2)等腰三角形 等腰三角形的判定： ①有两边相等的三角形是等腰三角形； ②有两角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)； ③三边相等的三角形是等边三角形； ④3个角相等的三角形是等边三角形；（补充内容） ⑤有2个角等于60(的三角形是等边三角形；（补充内容） ⑥有1个角等于60(的等腰三角形是等边三角形．（补充内容） 等腰三角形的性质： ①等边对等角； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； ③等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴； ④等边三角形的三个内角都等于60(． (3)直角三角形 直角三角形的判定： ①有一个角是直角的三角形是直角三角形； ②有两个角互余的三角形是直角三角形； ③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 直角三角形的性质： ①直角三角形的两个锐角互余； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③在直角三角形中，如果一个锐角等于30(，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（补充内容） ④勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． (4)全等三角形全等三角形的全等三角形的（或a：b＝cd），则四条线段a、b、c、d叫做成比例线段． ②若（或a：b＝b：cb叫做线段a、c的比例中项． ③比例基本性质 如果，那么． 如果（b、d都不等于0），那么． ④黄金分割 点C把线段AB分成两部分，如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C为线段AB的黄金分割点，AC与AB的比值约为0.618，这个比值称为黄金比． ⑤相似多边形的对应边成比例，对应角相等． ⑥相似三角形的判定: Ⅰ.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似； Ⅱ.如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似； Ⅲ.如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角 形相似； Ⅳ.平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； Ⅴ.如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（补充内容） ⑦相似三角形的性质 Ⅰ.相似三角形的对应边成比例，对应角相等； Ⅱ.相似三角形的对应中线的比，对应角平分线的比，对应高的比，对应周长的比都等于相似比； Ⅲ.相似三角形的面积之比等于相似比的平方． ⑧射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项．（补充内容） ⑨平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． ⑩位似：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似形，这个交点叫做位似中心． 【典型习题】 例1 如图5-1-1，△ABC的两个外角平分线相交于点D，∠A=80°，则∠BDC＝ 【分析】要求∠BDC，只要求∠DBC与∠DCB的和，而已知∠A=80°，可依次根据三角形内角和、外角、角平分线求出∠DBC与∠DCB的和. 【解】50° 【说明】本题涉及三角形内角和、角平分线、外角等基本知识，在基础题考查中具有典型意义，还可补充以下变式： 变式1：如果∠A=n°，则∠BDC＝ °． 变式2：如图5-1-2，△ABC的两内角平分线相交于点D，∠A= n°，则∠BDC＝ °． 变式3：如图5-1-3，△ABC的一个内角和一个外角的平分线相交于点D，∠A= n° ，则∠BDC＝ °．(用含n的代数式表示)． 例2 一个等腰三角形的一条边长为10，另一条边长为12，则这个等腰三角形的周长为 ，面积为 . 【分析】要注意分两种情况考虑，腰长可以为10或12，并验证是 否满足三角形的任意两边之和大于第三边. 【解】（1）当腰长为10，底边长为12时. 周长等于32，底边上的高等于8，面积等于48. （2）当腰长为12，底边长为10时. 周长等于3