同济六版高等数学第八章第五节课件.pptVIP

§8.5 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 作业 P42 1，2，3，5 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 上页 下页 铃 结束 返回 首页 如果一非零向量垂直于一平面, 这向量就叫做该平面的法线向量. 法线向量 平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直. 当平面?上一点M0(x0, y0, z0)和它的一个法线向量n=(A, B, C)为已知时, 平面?的位置就完全确定了. 唯一确定平面的条件 下页 已知M0(x0, y0, z0)为平面?上一点, n=(A, B, C)为平面?的一个法线向量. 设M(x, y, z)是平面?上的任一点, 则有 因为 n=(A, B, C), 平面的点法式方程 所以 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. 这就是平面?的方程, 称为点法式方程. 下页 一、平面的点法式方程 过点M0(x0, y0, z0)且法线向量为n=(A, B, C)的平面的方程为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. (x-2)-2(y+3)+3z=0, 即 x-2y+3z-8=0. 例1 求过点(2, -3, 0)且以n=(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 下页 平面的点法式方程 例2 求过三点M1(2,-1, 4)、M2(-1, 3,-2)和M3(0, 2, 3)的平面的方程. 解 所以 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 首页 过点M0(x0, y0, z0)且法线向量为n=(A, B, C)的平面的方程为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. 平面的点法式方程 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0, 即14x+9y-z-15=0. 由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平面都可以用三元一次方程来表示 . 反过来, 可以证明任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面. 方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程, 其法线向量为n=(A, B, C). 例如, 方程3x-4y+z-9=0表示一个平面, n=(3,-4, 1)是这平面的一个法线向量. 下页 平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为n=(A, B, C). 平面方程 By+Cz+D=0 Ax+Cz+D=0 Ax+By+D=0 Cz+D=0 Ax+D=0 By+D=0 法线向量 法线向量垂直于 平面平行于 x轴 y轴 z轴 xOy平面 yOz平面 zOx平面 n?(0, B, C) n?(A, 0, C) n?(A, B, 0) n?(0, 0, C) n?(A, 0, 0) n?(0, B, 0) x轴 y轴 z轴 x轴和y轴 y轴和z轴 x轴和z轴 讨论： 1.填写下表: 提示： D?0, 平面过原点. 2.平面Ax+By+Cz=0有什么特点？ 下页 提示： 平面通过x轴, 表明A=0(它的法线向量垂直于x轴)且D=0(它通过原点). 可设此平面的方程为 By+Cz=0. 又因为此平面通过点(4, -3, -1), 所以有 -3B-C=0. 将C=-3B其代入所设方程, 得 By-3Bz=0. 于是所求的平面方程为 y-3z=0. 下页 平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为n=(A, B, C). 例3 求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、