同济六版高等数学第七章第二节课件.pptVIP

§12.2 可分离变量的微分方程 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一阶微分方程有时也写成如下对称形式? P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在这种方程中? 变量x与y是对称的? 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy?f(x)dx 的形式? 那么原方程就称为可分离变量的微分方程? 上页 下页 铃 结束 返回 首页 y??10x?y y??1?x?y2?xy2 (x2?y2)dx?xydy=0 3x2?5x?y??0 y??2xy 是否可分离变量 分离变量 微分方程 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy?f(x)dx (或写成y???(x)?(y)) 的形式? 那么原方程就称为可分离变量的微分方程? 可分离变量的微分方程 下页 讨论: 是 不是 不是 是 是 是 y?1dy?2xdx dy?(3x2?5x)dx y??(1?x)(1?y2) 10?ydy?10xdx ———— ———— 可分离变量的微分方程的解法 两端积分? 方程G(y)?F(x)?C? y?F(x)或x?Y(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C称为隐式(通)解? 求显式解? 求方程由G(y)?F(x)?C所确定的隐函数 y?F(x)或x?Y(y)? 下页 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy?f(x)dx (或写成y???(x)?(y)) 的形式? 那么原方程就称为可分离变量的微分方程? 可分离变量的微分方程 分离变量? 将方程写成g(y)dy ?f(x)dx的形式? 下页 注? 离变量得 解 这是一个可分离变量的微分方程. 两边积分得 即 ln|y|?x2?C1? 加常数的另一方法? 根据题意? 得微分方程 解 例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比? 已知t?0时铀的含量为M0? 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律? 初始条件为M|t?0?M0? 将方程分离变量? 得 两边积分? 得 由初始条件? 得M0?Ce0?C? 所以铀含量M(t)随时间t变化的规律M?M0e ? ?t ? 即 lnM???t?lnC? 也即 M?Ce? ?t? 下页 提示? 降落伞所受外力为F?mg?kv(k为比例系数)? 牛顿第二运动定律F?ma? 设降落伞下落速度为v(t)? 解 下页 例3 设降落伞从跳伞塔下落后? 所受空气阻力与速度成正比? 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零? 求降落伞下落速度与时间的函数关系? 根据题意得初值问题 将方程分离变量得 两边积分得 将初始条件v|t?0?0代入上式得 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为 结束 例3 设降落伞从跳伞塔下落后? 所受空气阻力与速度成正比? 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零? 求降落伞下落速度与时间的函数关系? 设降落伞下落速度为v(t)? 解 根据题意得初值问题 作业 P 298 1 (1) , (3); 2 (1), (2) ;