同济六版高等数学第七章第三节课件.pptVIP

§12.3 齐次方程 *可化为齐次方程的方程 例4. 求解 上页 下页 铃 结束 返回 首页 上页 下页 铃 结束 返回 首页 如果一阶微分方程 则称这方程为齐次方程? 提示? 齐次方程 例如 下页 (3)(x2?y2)dx?xydy?0是齐次方程? (4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齐次方程? 提示? 提示? 提示? 齐次方程的解法 变量代换? 分离变量? 两端积分? 还原变量? 下页 齐次方程 原方程可写成 解 分离变量? 得 两边积分? 得 u?ln|u|?C?ln|x|? 或写成 ln|xu|?u?C? 下页 设此凹镜是由xOy面上曲线 L? y?y(x) (y0) 绕x轴旋转而成, 光源在原点. 提示: 在此变换下方程化为 提示? 解 根据题意? 得齐次方程 分离变量? 得 两边积分并整理? 得 下页 例2 有旋转曲面形状的凹镜? 假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行? 求这旋转曲面的方程? 以yv?x代入上式? 得 所求的旋转曲面方程为 下页 设此凹镜是由xOy面上曲线 L? y?y(x) (y0) 绕x轴旋转而成, 光源在原点. 解 根据题意? 得齐次方程 分离变量? 得 两边积分并整理? 得 例2 有旋转曲面形状的凹镜? 假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行? 求这旋转曲面的方程? 取O为原点? 河岸朝顺水方向为x轴? y轴指向对岸. 提示: 解 设在时刻 t 鸭子位于点P(x? y)? 则x和y满足微分方程 分离变量, 得 分离变量且两边积分? 得 下页 例3 设一条河的两岸为平行直线? 水流速度为a? 有一鸭子从岸边点A游向正对岸点O? 设鸭子的游速为b(ba)? 且鸭子游动方向始终朝着点O? 已知OA?h? 求鸭子游过的迹线的方程? 故鸭子游过的迹线方程为 结束 取O为原点? 河岸朝顺水方向为x轴? y轴指向对岸. 解 设在时刻 t 鸭子位于点P(x? y)? 则x和y满足微分方程 分离变量且两边积分? 得 例3 设一条河的两岸为平行直线? 水流速度为a? 有一鸭子从岸边点A游向正对岸点O? 设鸭子的游速为b(ba)? 且鸭子游动方向始终朝着点O? 已知OA?h? 求鸭子游过的迹线的方程? ( h, k 为待 作变换 原方程化为 令 , 解出 h , k (齐次方程) 定常数), 求出其解后, 即得原方 程的解. 原方程可化为 令 (可分离变量方程) 注: 上述方法可适用于下述更一般的方程 解: 令 得 再令 Y＝X u , 得 令 积分得 得 C = 1 , 故所求特解为 思考: 若方程改为 如何求解? 提示: