同济六版高等数学第五章第三节课件.pptVIP

§5.3 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 说明: 二、定积分的分部积分法 1. 设 2. 设 作业 上页 下页 铃 结束 返回 首页 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法 假设函数f(x)在区间[a, b]上连续, 函数x??(t)满足条件: (1)?(a)?a, ?(?)?b; (2)?(t)在[?, ?](或[?, ?])上具有连续导数, 且其值域不越出[a, b], 则有 定理证明 定理 ——换元公式. 下页 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 是 的原函数 , 因此有 则 1) 当? ? , 即区间换为 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 或配元 配元不换限 解 例1 提示： 下页 例2 解 或 提示： 提示： 换元一定要换积分限? 不换元积分限不变? 下页 解 例3 提示： 下页 解 例3 下页 提示： 解 例4 下页 证明 例5 证明: 若f(x)在[?a, a]上连续且为偶函数, 则 所以当f(x)为偶函数时? 有 讨论： 下页 证明 例6 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明 下页 (2)令x?p?t. 因为 例6 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明 证明 下页 提示： 解 设x?2?t, 则 例7 当x?1时t??1? 当x?4时t?2? 首页 设函数u(x)、v(x)在区间[a, b]上具有连续导数? 分部积分过程： 由 (uv)??u?v?uv?? 得 uv??(uv)??u?v? 等式两端在区间[a? b]上积分得 这就是定积分的分部积分公式? 下页 证: 分部积分过程： 解 例8 下页 解 例9 分部积分过程： 下页 解 例10 由此得 练习 结束 而 内容小结 基本积分法 换元积分法 分部积分法 换元必换限 配元不换限 边积边代限 思考与练习 解法1 解法2 对已知等式两边求导, 思考: 若改题为 提示: 两边求导, 得 得 求 解: (分部积分)