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第五节 从力做的功到向量的数量积 第五节 从力做的功到向量的数量积 课后讨论 平面向量数量积，是两个向量之间的一种乘法运算，它与两个实数之间的乘法运算是否一样满足交换律、分配律、结合律呢？能否给出你的结论的证明？ * * 广东省江门市江海中学 董艳丽 北师大版高中数学必修4 力对物体功所做的功 θ s 一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，那么力F 所做的功应当怎样计算？ F F 向量的夹角 记作 ，a 与b 垂直 a 与b 同向， ，a 与b 反向 两向量的夹角范围是 B a b A O 你能指出下列图中两向量的夹角吗？ A O B O A B O A B 由于零向量的方向是不确定的，因此规定：零向量可与任一向量垂直。 练习一： A B C 在△ABC中，已知A=45°，B=50°，C=85° 求下列向量的夹角： (1) (2) (3) 45° 130° 85° 射 影 过点B作 垂足为 ，则 | b | cosθ | b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的射影． O A B a b 问题二：射影是向量还是数量呢？ 其正负如何确定？ O A B a b O A B a b B O A a b O A B b a O A B b a θ为锐角时， | b | cosθ＞0 θ为钝角时， | b | cosθ＜0 θ为直角时， | b | cosθ=0 θ为 时，它是 | b | 0 。 θ为 时，它是 -| b | 180 。 练习二、指出下图中b 在 a 方向上的射影，并判断其正负． 平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为? ，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 问题三 向量的加、减法的结果是向量还是数量？向量的数量积运算呢？其正负如何确定？ 注意: “ ”能不能写成“ ”或者“ ” 的形式。 ※向量数量积的物理意义是：力对物体做功。 就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s ※平面向量的数量积的几何意义是: a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向 上的投影 |b|cos的乘积 向量数量积的意义 0 平面向量数量积的性质： 演练反馈 × × √ 判断下列各题是否正确： （2）若 ， ，则 （3）若 ， ，则 (1)若 则对任一向量 ，有 （4） √ ①平面向量的数量积及其性质； ②理解数量积的运算是不同于实数运算的一种新的运 算，注意它们的区别； ③主要题型有:求两向量的数量积、求向量的模、求两个 向量的夹角、判断两向量是否垂直及三角形的形状等。 下节课我们将进一步的学习。 ④体会分类讨论、数形结合的思想。 总结提炼 作业： a与 b的夹角为 ，则 a · b=_______ 30 。 2、已知 1、 课本P108习题2-5，1（1） 3、4、5