根轨迹法第一节第二节根轨迹绘制的基本准则1.ppt

第四章 根轨迹法 4.2 根轨迹绘制的基本准则 式中： 为除了 以外的开环极点到 的矢量的相角； 为开环零点到 的矢量的相角。 同样，进入复零点 的根轨迹入射角 为： 式中： 为除了 以外的开环零点到 的矢量相角； 为各开环极点到 的矢量相角。 的出射角应与 的出射角关于实轴对称。 4.2 根轨迹绘制的基本准则 根轨迹的出射角和入射角 [例4-5]如图，试确定根轨迹离开复数共轭极点的出射角。 [解]： 根据对称性，可知 点的出射角为： 请根据相角条件自行计算。 相角要注意符号；逆时针为正，顺时针为负； 注意矢量的方向。 [注意]： 4.2 根轨迹绘制的基本准则 9、根轨迹和虚轴的交点： 根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。则闭环特征方程至少有一对共轭虚根。这时的增益 称为临界根轨迹增益。 交点和 的求法： 在闭环特征方程中令 ，然后使特征方程的实、虚部为零即可求出 和 。 由劳斯稳定判据求解。 4.2 根轨迹绘制的基本准则 根轨迹和虚轴的交点 方法一：闭环系统的特征方程为： 将 代入得： [例4-6]开环传递函数为： ，试求根轨迹与虚轴的交点和 。 当 时， 为根轨迹的起点（开环极点） 当 时， ，即根轨迹与虚轴的交点为 。 4.2 根轨迹绘制的基本准则 方法二：用劳斯稳定判据确定 的值。 劳斯阵列为： 劳斯阵列中某一行全为零时，特征方程可出现共轭虚根。劳斯阵列中可能全为零的行有二。 共轭虚根为辅助方程 的根。 1、令 ，得临界增益为： 2、令 ，得 （开环极点）。 4.2 根轨迹绘制的基本准则 10、闭环系统极点之和与之积： 开环传递函数为： 闭环系统的特征方程为： ，即： (1) 设闭环系统的极点为： ，则 (2) 4.2 根轨迹绘制的基本准则 闭环系统极点之和与之积 比较（1）、（2）式得： 当n-m=2时， ，即： 对于任意的 ，闭环极点之和等于开环极点之和，为常数。 表明：当 变化时，部分闭环极点在复平面上向右移动（变大），则另一些极点必然向左移动（变小）。 闭环极点之积为： 根据上述10个性质（或准则），可以大致画出根轨迹的形状。为了准确起见，可以用相角条件试探之。 当有为零的开环极点： 4.2 根轨迹绘制的基本准则 闭环系统极点之和与之积 根轨迹作图步骤 一、标注开环极点和零点，纵横坐标用相同的比例尺； 二、实轴上的根轨迹； 三、n-m条渐近线； 四、根轨迹的出射角、入射角； 五、根轨迹与虚轴的交点； 六、根轨迹的分离点、会合点； 结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的支数、起始点和终点，闭环极点与闭环极点之和及之积等性质画出根轨迹。 4.2 根轨迹绘制的基本准则 ⒊渐近线 [例]开环传递函数为： ，画根轨迹。 ⒋出射角 ， ⒌求与虚轴的交点，此时特征方程为 解：⒈求出开环零极点，即： ⒉实轴上的根轨迹：(－∞，0] 将 代入得： 4.2 根轨迹绘制的基本准则 ⒍求分离会合点：由特征方程 由图知这两点并不在根轨迹上，所以并非分离会合点，这也可将 代入得 为复数。 4.2 根轨迹绘制的基本准则 * 第一节 根轨迹的基本概念 开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。 例：如图所示二阶系统， - 特征方程为： 闭环传递函数： 系统开环传递函数为： 特征根为： 4.1 根轨迹的基本概念 根轨迹定义 ⒈ 根轨迹定义 4.1 根轨迹的基本概念 [讨论]：由 根轨迹定义 ① 当K=0时，s1=0,s2=-2, 是开环传递函数