3-1 中值定理.ppt

* 中值定理 第二章我们讨论了微分法，解决了曲线的切线、法线及有关变化率问题。这一章我们来讨论导数的应用问题。 我们知道，函数 在区间 上的增量 可用它的微分 来近似计算 其误差是比 高阶的无穷小 是近似关系 是极限关系,都不便应用 我们的任务是寻求差商与导数的直接关系，既不是极限关系，也不是近似关系。对此，Lagrange中值定理给出了圆满的解答： ——导数应用的理论基础 本章我们先给出Rolle定理（它是Lagrange定理的特殊情况），由特殊过渡到一般来证明Lagrange定理和Cauchy定理，有了Cauchy定理就可以给出Taylor中值定理及L， Hospital法则，这就是本章理论部分的主要内容。 理论部分结构图 Lagrange定理 特例 Rolle定理 推广 Cauchy定理 推广 Taylor定理 本章的导数应用部分就是以此为基础展开讨论的，利用Lagrange定理给出了可导函数的单调性和凹凸性的判定法则，可以讨论可导函数取得极值的条件；有了L， Hospital法则，可以进一步讨论 等各种类型的未定式的极限；此外利用中值定理和 单调性还可证明一些不等式。 重点 微分中值定理 L， Hospital法则 Taylor公式 求函数的极值和最值 难点 中值定理 L， Hospital法则的运用 利用中值定理证明不等式 基本要求 ①正确理解和掌握R、L、C、T定理及它们之 间的关系 ②熟练运用L—法则求未定式的极限 ③掌握函数展开成Taylor公式的方法，熟记 的Taylor公式 ④熟练掌握单调性的判定方法，会利用单调性 来证明不等式 ⑤正确理解函数取得极值的条件，掌握极值判定 条件及求法 ⑥掌握函数凹凸性的判定方法，会求曲线的拐点 ⑦会用中值定理证明不等式 先讲中值定理，以提供必要的理论基础 一、罗尔(Rolle)定理 定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b) 例如, 几何解释: 若连续曲线弧的两个 端点的纵坐标相等，且除去两个端点外处处有不垂直于横轴的切线， 物理解释: 变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零. 证 注 ① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导 区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件 如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使 但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立 三个条件缺一不可。 例如, 又例如, 在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的 一切条件 再例如 在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的一切条件 ②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个； 另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定 的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点， 如 在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而 但却不易找到使 但根据定理，这样的点是存在的。即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用 例1 证 由介值定理 即为方程的小于1的正实根. 矛盾, 例2 证明 至多有三个实根 证 直接证明有困难，采用反证法 设 有四个实根 连续、可导 对 用罗尔定理得 连续、可导 对 用罗尔定理得 连续、可导 对 用罗尔定理得 矛盾 得证结论成立 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 几何解释: 证 分析: 弦AB方程为 作辅助函数 拉格朗日中值公式 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 微分中值定理 推论1 推论2 例2 证 例3 证 由上式得 例4 证 Lagrange定理 例5 设抛物线 与 x 轴有两个交点 函数f(x)在[a,b]上二阶可导 曲线y = f ( x )与抛物线 在（a,b）内有一个交点 证明 证 如图所示 o x y y=f(x) a b c M N 由罗尔定理，得 再由罗尔定理，得 三、柯西(Cauchy)中值定理 几何解释: 证 作辅助函数 Cauchy定理又称为广义微分中值定理 例6 证 分析: 结论可变形为 例7 设f(x)在x=0的某邻域内具有二阶导数，且 试证 证 由题设知 满足Cauchy定理的条件 由Cauchy公式得 再对函数 应用Cauchy公式，有 若f(x)在x=0的某邻域内具有 n 阶导数，且 ——这就是Taylor公式 *