2012届高三数学理科复习 圆锥曲线综合问题.docVIP

2012届高三数学理科复习 圆锥曲线综合问题 班级 姓名 1．已知是抛物线上的两个动点，为坐标原点，非零向量满足． （）求证：直线经过一定点； （）当的中点到直线的距离的最小值为时，求的值． , .设A,B两点的坐标为（）（）则 （1）经过AB两点的直线方程为 由得 令得 . 从而. (否则有一个为零向量. 代入得 始终经过定点 …………（6分） （2）设AB中点的坐标为)，则 又 ， 即 ……………① AB的中点到直线的距离将代入得因为d的最小值为 ……………（12分） （若用导数求切线的斜率为2的切点坐标，参考给分），动圆与此半圆相切且与轴相切。 （1）求动圆圆心的轨迹方程。 （2）是否存在斜率为的直线，它与（1）中所得轨迹由左到右顺次交于A、B、C、D四个不同的点，且满足|AD|=2|BC|？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由。 （1）设动圆圆心，作⊥轴于点 ①若两圆外切： ，则 化简得： ……………3分 ②若两圆内切： ，则 ……………5分 综上，动圆圆心的轨迹方程是 及 ………6分 其图象为两条抛物线位于轴上方的部分，如图所示。 （2）假设直线存在，可设的方程为。 依题意得，它与曲线交于点，与曲线交于点。 即 ① ② ， 2 =2 即+=4－ 得……………11分 将其代入方程①得 因为曲线的横坐标范围为，所以这样的直线不存在。……………13分 3.如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为；折痕与AB交于点E，点M满足关系式。若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）： （Ⅰ）．求点M的轨迹方程； （Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形的三边分别与曲线S切于点.求梯形面积的最小值. 解：（1）如图，设M（x,y），，又E（0，b） 显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为y=kx+b,,则 而的中点在直线l上， 故，① 由于代入①即得，又 点M的轨迹方程（）-------------6分 （2）易知曲线S的方程为 设梯形的面积为，点P的坐标为. 由题意得，点的坐标为，直线的方程为. 直线的方程为 即： 令 得， 令 得， 当且仅当，即时，取“=”且， 时，有最小值为. 梯形的面积的最小值为----------13分 4．点是二次函数图象上任意一点，点，线段中点为。 求中点的轨迹的方程； 点在直线，过点做轨迹的两切线，切点分别为。研究是否存在这样的点满足以下要求：在轨迹存在一点，点关于直线的对称点为，而且（为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由。 解析：（1）中点轨迹（2）如果假设存在，直接去探究，会很困难。先作图，考虑特殊情况：当点时，是符合要求的。设，此时直线不与轴垂直，设切点坐标，则，两切点横坐标 （Ⅰ）设点，切点坐标为， ∵，∴，即切线斜率为， ∴，整理得到：，设、，则 ，。 所以A，M，B三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）略（Ⅲ）如果，则，设，那么，此时直线方程为，点，点，符合要求； 如果，那么直线不与轴垂直。满足的四点、、、构成平行四边形。若存在点符合要求，则直线∥、。直线的斜率为，那么先研究直线与抛物线的交点，除去原点外的另一个交点为。而点的横坐标也为，则直线轴，即不与直线垂直，所以此时不存在点。 综上，仅存在一点适合题意。 5. 已知点、曲线C上的两，点、关于轴对称，直线分别交轴于点和点， （）（）曲线C为： 时，探究的值是否与点位置关； （）（）曲线C为，探究经加、减、乘、除某种运算结论.只要写出你的结论，无须证明．解：（）轴……2分、，……3分， 同理可得.……5分（）C：,(定值). ∴的值与点位置无关 ……8分C：,(定值). ∴的值与点位置无关 ………11分 （）结论． ………13分证明如下： ,. ∵M,P在抛物线C：.∴为定值. 6．已知椭圆和圆，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为。 若圆经过椭圆的焦点，求椭圆的离心率； 若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率范围； 设直线与轴分别交于点，探究是否为定值？如是，请求出，给出证明；如不是，请给出反例。 7．如图所示，椭圆的离心率为，且A（0，1）是椭圆C的顶点。 （1）求椭圆C的方程；