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DVD 在线租赁 Math Model of DVD On Line Tenancy 摘 要：本文根据网站已有的问卷调查和在线订单，来确定购买每种 DVD 的数量和分配策略。 对于问题 1，本文假设 DVD1 的需求数量和被租赁出去的 DVD 在一个月内的归还数量都是随 机变量，满足正态分布，由此建立了概率模型，并得出结论是需要准备 6355 张 DVD1，才能 在 90%的概率意义上，保证愿意观看该 DVD 的会员至少 50%在一个月内能够看到该 DVD。准 备的 DVD1 的数量的微小变化对目标影响不大，不过最好不要低于 6000 张，也不必超过 6500 张。而需要 4230 张 DVD1，才能保证在三个月内至少 95%的会员能够看到该 DVD。 对于问题 2，本文建立了 0-1 规划模型，并利用 Lingo 软件求出了全局最优解，得到的 方案共分配出去 2968 张 DVD，对应的原偏爱指数平均为 2.66。具体的分配方案可看表 2。 对于问题 3，本文假设每种 DVD 的购买数量和其会员总偏爱程度成正比，于是对于某 个需购买的 DVD 总数，我们可以按照偏爱程度的比例确定每种 DVD 需要购买的数量，然 后按照 0-1 规划模型进行第一次分配。接着本文用数值模拟的方法随机取 60%的会员一个月 租赁两次 DVD，并把归还后的 DVD 用 0-1 规划模型进行第二次分配，最终计算得到会员相 应的满意度，从而给出了网站准备的 DVD 总数和会员在一个月的满意度之间的关系。并建议 网站准备 2300 张左右的 DVD，使得会员一个月的满意度达到 0.8 左右。 问题 4 中还考虑了其他一些比较实际重要的问题。 关键字：在线租赁，概率模型，0-1 规划模型，随机模拟 （英文摘要和关键词在文档最后） 问题 1 DVD 的购买 【问题重述】 问题 1 是，网站通过问卷调查 1000 个会员，其中有 200 个人愿意观看 DVD1。 而且历史数据显示 60%的会员每月租赁两次，另外 40%每月租赁一次。现在对 网站的 10 万个会员，应该准备多少张 DVD1，才能保证愿意观看该 DVD 的会员 50%在一个月内能够看到该 DVD？如果要求保证在三个月内至少 95%的会员能 够看到该 DVD 呢？ 【模型分析】 问题的关键是如何确定 10 万个会员中有多少个人愿意观看 DVD1，如果简 单地从问卷调查确定地推出 10 万个会员必有 2 万个人愿意观看 DVD1，则可假 × × + × = 设需要购买 N 张 DVD1，由 60% N 2 40% N 20000 50% ，可以容易的解 出 N = 6250 。然而从问卷调查并不能够确定地推出 10 万个会员必有 2 万个人愿 意观看 DVD1，毕竟有一种可能是 10 万个会员中只有问卷调查中的 200 个人愿 意观看 DVD1。于是，我们应该认为有多少人愿意观看 DVD1 是一个随机事件， 建立概率模型。为了方便叙述，我们把每月租赁两次的会员称为 A 类会员，每 月租一次的会员称为 B 类会员。 第 1 页  【模型假设】 1．DVD1 的需求数量 ξ 是一个随机变量，满足二项分布，并趋于正态分布。 2．每张 DVD 一个月内最多被租赁两次，被 A 类会员租赁的概率是 0.6，被 B 类 会员租赁的概率 0.4，于是被租赁出去的 DVD 在一个月内的归还数量η 服从 二项分布。 【符号说明】 ξ DVD1 的需求数量。 n p m M N 网站会员总数， n = 100000 。 每个会员想看 DVD1 的概率， p =200= 0.2 。 1000 想看 DVD1 的会员数量。 想看 DVD1 的会员的至多数量。 需要购买 DVD1 的数量。 q DVD1 被 B 类会员租走的概率， q = 0.4 。 k DVD1 被 B 类会员租走的数量。 K DVD1 被 B 类会员租走的至多数量。 【模型建立与求解】 根据假设 1，ξ = m （即有 m 个会员想看， n m 个会员不想看 DVD1）的概 率为： P(ξ = m) = ( ; , ) = C pnm m(1? p)n m  于是，ξ = 100000 的概率都是有的，但是这种概率微乎其微，网站也不可能 准备 5 万张 DVD1 来保证应付这种极端情况。所以，所谓“保证愿意观看该 DVD 的会员至少 50%在一个月内能够看到该 DVD”只能在一定置信水平上办到。比 如在 95%的置信水平上，假设至多有 M 个会员想看 DVD1，即有  ξ ≤ P (  M ) M = ∑  ( ; , ) M = ∑  m m C p  (