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【课题】 《定积分的应用》的单元复习 * * * (1) 图中x为积分变量的阴影部分的面积微元为 错处: 窄条的近似高 在积分区间 [-2,2]内, 故 错处: 中的面积微元 和 缺少对称部分的面积 故 (2) 图中阴影部分的面积为 i)直角坐标系中图形的面积 平面图形面积计算法 ( ) x f ( ) x f ( ) y f ( ) y j ii)极坐标下平面图形的面积 【纠错导入复习】 指出下列作业中答案的错误之处,说明为什么,并纠正错误. 1、纠正作业错误 (3) 图中阴影部分绕Y轴旋转的体面积为 错处: 的积分限 故 错处: 非平面曲线求弧长公式 故 直角坐标曲线弧长公式 参数式曲线弧长公式 极坐标曲线弧长公式 旋转体体积 (4) 图中星形线在第一象限的全长为 { 3 3 cos sin t a x t a y = = ÷ ? ? ? è ? 2 1 , 2 a 2、复习要求 以上作业的错误,分析其产生的原因,有的是计算公式运用不当造成的,但更主要的是未能在理解元素法的基础上就予以运用而产生的.本课将通过解答学习疑难、系统回顾知识、巩固重要方法、提高运用能力等方面的教学,发挥复习对知识进行深化、精炼和概括的作用,帮助同学们明确单元中主要知识间的内在联系,能营造出知识结构;加深对定积分元素法的理解,明确什么条件下的量可以从具体问题表达为定积分, 并掌握把所求量I表示为定积分的方法和步骤;学会建立适当的坐标系来讨论和解决定积分元素法的运用问题,能综合运用相应的知识将实际问题化为数学问题,通过元素法写出积分形式后进行计算. 为此,提出几点要求: 1、对本章的复习不能仅停畄在对己学的知识温习记忆一遍的要求上,而要去努力思考新知识是怎样产生的?是如何展开的?其实质是什么?怎样应用它?等. 2、要通过讨论归纳出《定积分的应用》的知识结构, 把知识有机地串联起来.在理解教材的基础上,沟通知识间的内在联系,找出重点、关键,然后提炼概括,组成一个知识系统,从而形成或发展扩大认知结构. 3、在复习过程中要增強元素法运用规律的总结和提高迅速计算的能力. 【营造单元的知识结构】 前面几节课我们已经用定积分的元素法解决了许多问题,现在要问: 怎样理解定积分的元素法? 几何量、物理量定积分的表示与元素法之间的知识联系是怎样的? 本单元知识结构图如何构建? 如何正确地用定积分表达和计算一些几何量、物理量呢? 1、元素法与定积分几何意义之间知识联系的回顾 定积分几何意义 分析与说明 定积分的 元素法 2、定积分元素法的理解 对定积分元素法的理解: (1)、元素法中的量I是可化为定积分的量,并且是在区间[a ,b]上变化的量. 注:在I微小的局部上,微区间[x ,x+dx]中的dx其长度很短,几乎为零. (3)、 运用元素法解决实际问题(如求量I)的关鍵是在I微小的局部上进行数量分析,寻找正确的元素表达式. 什么是定积分的元素法? (2)、上述所求量I,若在[a ,b]内的任一小区间 上,用 “以直代曲、以不变代变”找到这个量I的微分 (即I的元素表达式),则求I的问题可转化为计算定积分 定积分元素法的元素,是在微区间 上用“以直代曲、以不变代变”替换后得到的,这里的 与 相差一个比 高阶的无穷小. 积分号 实际是元素状态下的加法器, 表示从a处的dI加到b处的dI. 设一积分变量x在区间[a ,b] 上变化,把区间[a ,b]分成n个小区间,取其中任一小区间 ,求出这小区间上所求量ΔI 能近似地表示为[a ,b]上的一个连续函数在x处的值f (x) 与 d x 的乘积,就把 f (x) d x 称为量I的元素,记作d I. 即d I=f (x )d x . 所求量的元素 f (x) d x 在[a ,b] 上作定积分 得 这种方法通常叫积分元素法. 3、具体问题导致定积分的条件 具体问题的量I能用定积分表示,必须具备两个特征: I是一个与其变量x的变化区间[x ,x+dx]有关的量. I对于区间[a ,b]具有可加性,即 由具体问题导致定积分的条件可知,除了曲边梯形的面积以外,像一些比较复杂的平面图形的面积、特殊的体积、平面弧长等几何量和变力所做功、液体侧压力等物理量也具备这种特性,所以它们也都能用定积分来表示. 4、可归结为定积分计算的量I表示为定积分的方法和步骤 (即用元素法解题的程序)
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