218-定积分的几何应用定积分在经济问题中的应用.ppt

第6章 定积分的应用 前页 结束 后页 6.1 定积分的几何应用 6.2 定积分在经济问题中的应用 结束 2.以点x处的函数值为高,以[x,x+dx]为底的矩形面积做为△A的近似值 ,其中f(x)dx 称为面积微元,记为 , 于是面积为 1.选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间[a,b], 在区间上任取一小区间并记为 . 此方法称为微元法或积分元素法. 6.1.1 微元法: 6.1 定积分的几何应用 以曲边梯形面积为例,如图曲边梯形. 设函数 在区 间 上连续, , 求由曲线 及 直线 所围成 的图形的面积. 1. 直角坐标下平面图形的面积 6.1.2 用定积分求平面图形的面积 (2) 以 为被积表达式,在区间 作定积分 就是所求图形的面积. (1) 在区间 上任取小区间 ,设此小区间上的面积为 ,它近似于高为 ,底为 的小矩形面积,从而得面积微元为 分析 在这个公式中，无论曲线 在x 轴的上方或下方都成立，只要 在曲线 的下方即可。 例1 求由曲线 所围成的图形的面积A。 解 两曲线的交点为（0,0）,（1,1）,于是积分区间为[0,1] 面积微元 所求面积为 面积为 ,则近似于高为dy,底 同理，设函数 在区间 上连续， 为 的小矩形面积, 在区间 上任取小区间 ,设此小区间上的 求由曲线 及直线 所围成的图形的面积. 于是所求面积为 从而得面积微元为 解 由 解得交点A(2,-1),B(8,2) 例2 求抛物线 与直线 所围成的图形的面积. A(2,-1), B(8,2) 取y为积分变量,于是,所求面积为: 且 求此曲线与射线 所围成的曲边扇形的面积. (2)极坐标下平面图形的面积 设曲线的极坐标方程 在 上连续, 在区间 上任取一小区间 ,设此小区间上曲边扇形的面积为 ,则 近似于半径为 ,中心 角为 的扇形面积, 从而可得面积为 从而得到面积微元为 例3 求心形线 所围成的面积. 解 当 从0变到 时,得 的图形为上半部分,心形线所围图形的面积A为极轴上方部分的两倍,即 例4 计算阿基米德螺线 上对应于 从0变到 的一段曲线与极轴所围成图形的面积. 解 面积微元为 于是,所求面积为 6.1.3 用定积分求旋转体的体积 1.平行截面面积已知的立体体积 设有一立体价于过点 且垂直于 轴的两平面之间,求此立体的体积. 如图,介于 与 之间的薄片的体积近似等于底面积为A(x),高为dx的扁柱体的体积,即体积微元为 A(x) 即对截面积A(x)从a到b求积分! 于是所求体积为 2.旋转体体积 设 , 及y=0所围图形绕x轴旋转,求所得旋转体的体积. 选取 为积分变量,其变化区间为 ,过点x做垂直于x 轴的平面,截得旋转体截面是半径为 的圆,其截面积为 从而所求旋转体体积为 例4 计算由椭圆 绕x轴旋转一周所成的旋转体(旋