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概率论中几种概率模型方法总结 绪论：概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努里概型.本文对概率论中几种概率模型方法进行了总结。 1 古典概型 古典概型及其概率是概率论的基础知识,它既是进一步学习概率的基础,下面就一些典型事件的分析来说明古典概型的概率计算方法。古典概型的概率计算可以分为三个步骤:确定所研究的对象为古典概型;计算样本点数;利用公式计算概率。即如果随机试验只有有限个可能结果,而且每一个可能结果出现的可能性相同,那么这样的随机试验就是古典概型问题。若设Ω是一个古典概型样本空间, 则对任意事件A 有: 。在计算m和n时,经常使用排列与组合计算公式。在确定一个试验的每个基本事件发生的可能性相同时,经常根据问题本身所具有的某种“对称性”,即利用人们长期积累的关于“对称性”的实际经验,认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或偏小。关于古典概型的数学模型如下: 1.1　袋中取球问题 1.1.1　随机地同时从袋中取若干球问题 随机地同时从袋中取若干球问题是古典概型中的一类最基本问题,其特点是所考虑的事件中只涉及球的结构而不涉及取球的先后顺序,计算样本点数时只需考虑组合数即可。概率中的很多问题常常可以归结为此类问题来解决。 事件1　一袋中有m + n个球,其中m个黑球, n个白球,现随机地从袋中取出k个球( k≤m + n) ,求其中恰好有l个白球( l≤n)的概率。 分析:随机地从袋中取出k个球有种可能的结果,其中“恰好有l个白球”这一事件包含了种结果,因此所求概率为 这个结论可以作为一个公式来应用。用它可以解决一些类似的问题。 1.1.2　随机地从袋中不放回地取球若干次 随机地从袋中不放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球,取后不再放回袋中,连续进行若干次。这样的取球过程实际上是按顺序取的,所考虑的事件也会涉及到取球的顺序,所以要用排列数计算样本点数。 事件2　一袋中装有m + n个球,其中m个黑球, n个白球,现随机地从中每次取出一个球(不放回) ,求下列事件的概率: (1)第i次取到的是白球; (2)第i次才取到白球; (3)前i次中能取到白球; (4)前i次中恰好取到l个白球( l≤i≤m + n, l≤n) ; (5)到第i次为止才取到l个白球( l≤i≤m + n, l ≤n)。 分析: ( 1)“第i次取到的是白球”可以理解为“取球进行了i次,第i次取出白球”。从m + n个球中不放回地取球i次,即是从m + n个球中不放回地取出i个球,一共有种不同的取法;其中“第i次取到的是白球”有种取法。因此所求概率为:, 根据排列数公式计算得。这个问题可以看成是抽签问题的数学模型,其结果表明:抽到好签的机会(概率)与抽签的顺序无关,即抽签具有公平性。 (2)“第i次才取到白球”可以理解为“取球进行了i次,前i - 1次取出的都是黑球,第i次取出的是白球”,根据乘法原理可知应有种取法;同(1)可得从m + n个球中不放回地取球i次一共有种不同的取法,故有。 (3)“前i次中能取到白球”包含的情况比较复杂,因此先找它的对立事件“前i次取出的都是黑球”的概率。“前i次取出的都是黑球”的概率是:,所以前i次中能取到白球的概率是。 (4)“前i次中恰好取到l个白球”意味着“取出的i个球中有l个白球, i - l个黑球”,根据乘法原理可知应有种取法, 所以。 (5)“到第i次为止才取到l个白球”等价于“前i- 1次中恰好取到l - 1个白球且第i次取到白球”。故。 由此可见如果能深刻理解事件2这种数学模型,那么古典概型中的一些概率计算问题就可以归结为随机地从袋中不放回地取球若干次求某事件的概率问题。 1.1.3　随机地从袋中有放回地取球若干次 随机地从袋中有放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球,取后依然放回袋中,连续进行若干次。这样的取球过程实际上也是按顺序取的,而且每个球都有被重复取出的可能,所考虑的事件依然会涉及到取球的顺序,所以要用重复排列数计算样本点数。 事件3　一袋中装有m + n个球,其中m 个黑球, n个白球,现随机地从中每次取出一个球,取后放回,求下列事件的概率: ( 1)第i次取到的是白球; (2)第i次才取到白球; ( 3 )前i次中能取到白球; (4)前i次中恰好取到l个白球( l≤i≤m + n, l ≤n); (5)到第i次为止才取到l个白球( l≤i≤m + n, l≤n)。 分析:　因为每一个问题仅仅涉及了i次取球,所以只考虑取球i次的情形。根据题中的取球要求可知每次取球都是从m + n个球中取出1 个共取了i次,据此应该种不同的取球方式。 (1)“第i次取到的是白球”意味着“前i - 1次每次都是从m + n个球中取出1个球(白球或黑球) ,然后第i次是