[考研资料]专升本空间解析几何-3.ppt

* 高等数学 第四章 (向量代数与)空间解析几何 前言 向量代数(补充内容) 第一节 平面与直线 第二节 简单的二次曲面 高等数学 二次曲面 （按构造分） 柱面 圆柱面 旋转曲面 椭圆柱面 抛物柱面 双曲柱面 球面 椭球面 抛物面 圆锥面 简单的二次曲面结构图 本节内容： 一、曲面与方程（包括柱面方程） 二、空间曲线 三、旋转曲面 四、二次曲面 高等数学 一、曲面及其方程 一般地,如果曲面S与三元方程存在如下关系: (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0. (2)不在曲面S上的点不满足方程. 那么F(x,y,z)=0称为曲面S的方程,而曲面S称为方程的图形. 1.曲面方程及其图形 高等数学 高等数学 曲面方程 高等数学 曲面方程 高等数学 P119 例13 确定球面方程的球心与半径。 高等数学 2.柱面 定义 设给定一条直线L,则平行于L且沿曲线C移动的直线L所形成的曲面叫柱面. 定曲线C 叫柱面的准线,动直线L叫作柱面的母线. 如果柱面的准线是xOy面上的曲线C,其方程为f(x,y)=0,柱面的母线平行于z轴,则方程f(x,y)=0就是这柱面的方程. 高等数学 在此柱面上任取一点M(x,y,z),过点M作直线平行于z轴,此直线与xOy面相交于点M0(x,y,0), 点M0就是点M在xOy面上的投影,于是点M0必落在准线上,它在xOy面上的坐标(x,y)必满足f(x,y)=0，这个方程不含z的项，所以点M的坐标(x,y,z)也满足方程f(x,y)= 0.因此,在空间坐标系中,方程f(x,y)=0,所表示的图形就是平行于z轴的柱面。 同理可知,只含y,z而不含x的方程f(y,z)= 0和只含x,z而不含y的方程f(x,z)= 0,分别表示平行于x轴和y轴的柱面. 母线平行于坐标轴的柱面 在空间直角坐标系oxyz下含两个变量的二次方程即为柱面方程.其名称根据此二次方程在所含变量平面上的曲线形状而定。缺哪个变量，母线就平行于哪 个坐标。 高等数学 母线平行于坐标轴的柱面 高等数学 二、空间曲线 如果两个曲面的方程为F1(x,y,z)=0和F2(x,y,z)= 0,则它们的交线C上的点同时在两个曲面上,其坐标必须同时满足这两个方程.反之,满足这两个方程的点也一定在这两曲面的交线上. 1.空间曲线的一般方程 高等数学 高等数学 2.空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的方程为 作曲线C在xOy面上的投影时,要通过曲线C上的每一点作xOy面的垂线,这就相当于作一个母线平行于z轴且通过曲线C的柱面,这柱面与xOy面的交线就是曲线C在xOy面上的投影曲线,所以关键在求该柱面的方程. 从原方程中消去z而得到F(x,y)=0. 高等数学 该方程表示一个母线平行于z轴的柱面,此柱面 必包含C曲线,所以它是一个以曲线C为准线,母线 平行于z轴的柱面,叫做曲线关于xOy面的投影柱面, 简称投影,曲线C在xOy面的投影曲线方程为 高等数学 高等数学 三、旋转曲面 一平面曲线C绕着该平面内一定直线L旋转一周 所形成的曲面叫做旋转曲面.曲线C叫做旋转曲面的 母线,直线L叫做旋转曲面的轴. 设在yOz面上有一已知曲线C:F(x,y,z)=0,将这曲线绕z轴旋转一周,就可以得到一个以z为轴的旋转曲面,求其方程.如图 高等数学 高等数学 高等数学 例5 求yOz面上的直线z=ky绕z轴旋转一周所成的旋转曲面的方程. 高等数学 旋转曲面方程 高等数学 四、二次曲面 在空间直角坐标系中,方程F(x,y,z)=0一般代表曲面,若F(x,y,z)= 0为一次方程,则它代表一次曲面,即平面.若F(x,y,z)= 0为二次方程,则它所表示的曲面称为二次曲面. 可以利用坐标面或平行于坐标面的平面与曲线相截,通过考察其交线的方法,去了解曲面的形状,然后加以综合,从而了解整个曲面的形状.这叫做截痕法. 高等数学 1.椭球面