实数基本定理的互证.docVIP

有关实数系一些基本等价性质的互证 柯华忠 中山大学应用数学04级 实数系的七个基本性质的互相推证似乎不易掌握（要证次），但细细分析证明的思路，可发现一些共同的模式。但凡事有了套路都容易使人的思维产生惯性，十分不利于多角度、多侧面地认识客体。为此，本文在叙述笔者总结的模式以外，还提供几个不在模式内的证明。 I;三种模式 (i)“切” 所谓“切”，是指运用Dedekind分割的思路，根据实数连续性得到一个特殊的临界点。此思路最典型的运用非实数基本定理莫属。但考虑到实数基本定理中构造上类（或下类）往往循以下形式：B={x | x是满足性质P的数集的上界}（或A={x | x是满足性质P的数集的下界}），于是A|B所确定的唯一实数r是B的下确界（同时也是A的上确界），所以可运用实数基本定理的地方均可用确界定理处理。考虑到用确界定理叙述起来较方便，以下证明均采用确界定理。 单调有界定理和区间套定理：分别见课本P295-296 及P297 。 由此二处证明可见，证明的关键是存在性，而点的唯一性是由被证明定理本身的条件所保证的。这是一种一般性现象。除Borel有限覆盖定理外，其余六条基本性质均断言某种特殊点的“唯一存在”性质：这在实数基本定理是上类的最小值点或下类的最大值点，在确界定理是确界点，在单调有界定理是极限点，在区间套定理是公共点，在致密性定理是某子列的收敛点，在Cauchy收敛准则是极限点。对这些定理的证明的关键是推出上述特殊点的存在性，而唯一性总可由定理本身的约束条件得到。这从一个侧面反映了这些实数基本性质不外是对实数这一对象的不同角度的描述而已。 Borel定理 设是的一个覆盖。设B=x |有E的有限子覆盖 。由于Ea s.t. Ea，故在a右侧有B中元素，即B非空。设=supB, 下证b不成立。否则0,0，s.t. -+。不妨设=-,, 则 。由B的构造知有E的有限子覆盖，则构成了上的一个有限覆盖，这与矛盾。故，则构成的一个有限子覆盖。因此命题成立。 此处证明使用了反证法。细细分析证明Borel定理或用Borel定理证明的处理思路，都用上了反证法。原因是其余六条基本性质均是局部性质，而Borel定理描述的是整体性质（均对闭区间而言）。由局部推整体困难，但由被否定的整体推被否定局部则相对简单；由整体推局部殊不简单，但由被否定的局部推被否定的整体则不那么困难。因此，认为Borel定理是其余六条基本性质的逆否形式是合理的。 致密性定理和Cauchy收敛准则 下证致密性定理。设序列有界，则。设中只含的有限项或不含的任意项。由于中不含的任意项，故B非空。设，则中总含的无穷项。对，任意取定，使序列满足。于是是的子列，又，当时，总有，于是，故是的收敛子列。 Cauchy收敛准则的证明与此相仿，不再赘述。 由致密性定理的证明过程可知，有界数列的收敛点所组成的数集的上下确界是可以取得的，即收敛点所组成的数集有最大值和最小值。而这由区间套定理去证明是难以看出的（当然看出后去证明亦是不难的）。由此可见，用不同方法处理同一问题，相当于从不同侧面、不同角度去认识客体，其意义不可小觑。而结合Cauchy收敛准则，收敛点所组成的数集的最大值与最小值相等，由此可见致密性定理与Cauchy收敛准则的联系。 (ii) “套” 所谓“套”，即是运用区间套的思路，套出一个特殊点。区间套的构造总是相同的，但如何引出这个特殊点，却有一点小技巧。事实上，不仅区间套定理，我们可以发现用确界定理、单调有界定理、致密性定理、Cauchy收敛准则的过程中均可通过构造区间套来处理问题。由于平时课本上运用得比较多，此处不再赘述。 (iii) “盖” 所谓“盖”，是指运用Borel有限覆盖定理。如I..所述，证明须结合反证法。 实数基本定理 设是的一个分划，下用反证法证明，有，即假设A无最大值，B无最小值。 任取，得闭区间。由假设，，或者，或者，二者有且只有一个成立。若是前者，必有；若是后者，则必有 。于是开区间，且中有且只有一个成立。则构成的一个覆盖，则有的有限子覆盖。不妨设且没有一个开区间包含另外某个开区间。则，否则不妨设，则不在的任一个开区间中，这与覆盖矛盾。于是不妨设，则由知，，从而，从而，从而，……如此继续下去，经过有限次可得，于是，于是，这与矛盾。于是，有。唯一性易证。 确界定理、单调有界定理、区间套定理 显然均可用的方法处理。仔细分析中待证定理的条件，不难发现它们都有一个良好的易于应用Borel