数学 学年论文 毕业论文 关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨(完整版).docVIP

关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨 摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。本文给出 判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。 关键词：逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 分块矩阵 矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。 定义1 n级方阵A称为可逆的，如果n级方阵B，使得 AB=BA=E （1） 这里E是n级单位矩阵。 定义2 如果B适合（1），那么B就称为A的逆矩阵，记作。 定理1 如果A有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。 逆矩阵的基本性质： 性质1 当A为可逆阵，则. 性质2 若A为可逆阵，则为任意一个非零的数都是可逆阵，且 . 性质3 ，其中A，B均为n阶可逆阵. 性质4 . 由性质3有 定理2 若是同阶可逆阵，则是可逆阵，且 下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法： 方法一 定义法 利用定义1，即找一个矩阵B，使AB=E，则A可逆，并且。 方法二 伴随矩阵法 定义3 设是n级方阵，用表示A的元的代数余子式， 矩阵称为A的伴随矩阵，记作A*。 定理3 矩阵A可逆的充分必要条件是，并且当A可逆时,有 。 定理证明见[1]. 定理3不仅给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，但是这种方法主要用在理论上以及2级或3级矩阵的情形，如果阶数较大，那么使用此方法计算量太大。 由定理3逆矩阵判定的方法还有： 推论3.1 n级矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的秩为n。 推论3.2 矩阵A可逆的充要条件是它的特征值都不为0。 推论3.3 n级矩阵A可逆的充分必要条件是它的行或列向量组线性无关。 方法三 初等变换法 定义4 对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换： 交换矩阵的两行列； 以一个非零的数乘矩阵的某一行列； 把矩阵的某一行（列的倍加到另一行列。 定理4 方阵A可逆的充分必要条件是A可表示为若干个同阶初等矩阵的乘积。 具体方法是：欲求A的逆矩阵时，首先由A作出一个矩阵，即，其次对这个矩阵施以行初等变换且只能用行初等变换，将它的左半部的矩阵A化为单位矩阵，那么原来右半部的单位矩阵就同时化为： 或者 求矩阵A的逆矩阵，已知。 解： 注：在事先不知道n阶矩阵是可逆的情况下，也可直接用此方法。如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A不可逆。 方法四 利用解线性方程组来求逆矩阵 若阶矩阵A可逆，则，于是的第列是线性方程组的 解，.因此我们可以去解线性方程组，其，把所得的解的公式中的分别用；；…；代替，便可求得的第列，这种方法在某些时候可能比用初等变换法求逆矩阵稍微简单一点。 求矩阵A=的逆矩阵。 解： 设 解方程组AX=B 即 解得 然后把列，分别用 代入得到矩阵的第行，分别用 即 这种方法特别适用于线性方程组AX=B的解容易求解的情形。 方法五 分块求逆法 当一个可逆矩阵的阶数较大时，即使用初等变换求它的逆矩阵仍然计算量较大。如果把该矩阵分块，再对分块矩阵求逆矩阵，则能减少计算量。而且形如 的分块矩阵，使用分块矩阵较方便。现用为例，来说明求逆矩阵的方法，其它的矩阵可依此类推。 设有n阶可逆矩阵，其中为阶可逆方阵，求。 解：设，则与有相同分法，则 得一个线性方程组为 由于可逆，故存在，解得 从而 方法六 利用哈密尔顿—凯莱定理求逆矩阵法 哈密尔顿—凯莱定理 设A是数域P上一个矩阵，是A的特征多项式，则。 如果A可逆，则A的特征多项式的常数项，由定理知 于是 因此得 此式给出了的多项式计算方法。 已知，求。 解：矩阵A的特征多项式为： 因，所以矩阵A可逆，由式知 = 方法七 “和化积”法 有时遇到这样的问题：要求判断方阵之和A+B的可逆性并求逆矩阵，此时可将A+B直接化为，由此有A+B可逆，且，或将方阵之和A+B表为若干个已知的可逆阵之积，再有定理2知A+B可逆，并可得出其逆矩阵。 证明：若，则是可逆阵，并求。 证明： E-A是可逆矩阵且 总之，矩阵可逆性的判断及