机械能守恒量拉格朗日函数哈米顿函数比较研究.doc

【标题】机械能守恒量-拉格朗日函数-哈米顿函数比较研究 【作者】李红宝 【关键词】机械能函数???拉格朗日函数???哈密顿函数??????比较研究 【指导老师】王骁勇 【专业】物理学 【正文】前?言ELH函数是理论力学非常重要的三个概念，它们的研究都是在保守力场中进行分析，通过比较研究得出他们的不同，为我们以后的研究起着非常重要的作用。1?机械能守恒量的推导机械能守恒定律是物理学中的一条重要规律，由动力学方程出发可以得出质点的动能定理???????????????????????????????????????????????????（1）如果把（1）式积分?????（2）?如F为保守力必然存在势能V?F=-?V?即?就得到T??+? V??=? E2?拉格朗日函数的推导拉格朗日方程是分析力学的一个重要内容，它是在达朗伯等前人的工作基础上发展起来的。由n?个质点所形成的力学体系的动力学方程，根据牛顿运动定律的表达式可写为???????????????（i=1，2，…，n）或???????????（i=1，2，…，n）???（2.1）该式反映的这种平衡关系叫达朗伯原理若用虚位移?标乘式（2.1），并对 i求和，在理想约束条件下，则得?????????????(2.2)即称为达朗伯-拉格朗日方程可以导出?????????(a=1，2…，s)??????????(2.3)这是基本形式的拉格朗日方程。在保守系中币存在势能V它是坐标的函数，且???????????(i=1，2…，n)???(2.4)如果把变换方程式(5.1.8)[理论力学，周衍柏编，P272]代入则V成为q1，q2，…qs;t的函数，于是?（a=1，2…，s）?(2.5)因为势能V中并不包含广义速度?，故令?????????????? L=T-V则??????(2.6)而基本形式的拉格朗日方程式（2.3）则变为???????????（a=1，2…，s）?????(2.7)这就是保守力系的拉格朗日方程3?哈密顿函数的推导由拉格朗日函数的勒让得变换?在一定的条件下，哈密顿正则方程饿跟拉格朗日方程一样，所以我们知道哈密顿函数H中的宗量pa，?，qa(a=1，2，3﹍﹍)都是时间t的函数，故求H对时间t微商时，应该按照高等数学中的复合函数求微商的法则来进行。即??????????????????????????（1）把???代入（1）中，得??????????????????????（2）??????故如函数H中不显含t，则因?，故dH/dt=0，因而正则方程有一积分????????????? H?= h?????????????????????所以得到????????????????????????【3】4 E L H的比较在相对运动拉格朗日方程的基础上作勒让德变换得到动力学方程的正则形式，利用正则方程讨论了作相对运动的系统存在能量积分的条件。若约束是稳定的，主动力又是稳定的保守力，则系统的哈密顿函数就是总机械能，最后给出了相对运动机械能守恒定律。4.1 E L H的相同点（1）E L H三个函数都是从牛顿运动定律出发，都遵循牛顿运动定律的?（2）E L H三个函数都是在保守力系中进行推导与运用4.2 E L H的不同点4.2.1?机械能守恒量与哈密顿函数的区别首先，机械能守恒是对系统而言的，而不是对单个物体。如：地球和物体、物体和弹簧等。对于系统机械能守恒，要适当选取参照系，因为一个力学系统的机械能是否守恒与参照系的选取是有关的。其次，适当选取零势能面(参考平面)，尽管零势能面的选取是任意的，但研究同一问题，必须相对同一零势能面。零势能面的选取必须以方便解题为前提。如研究单摆振动中的机构能守恒问题，一般选取竖直面上轨迹的最低点作为零势能面较为恰当。①位置1的机械能E1＝位置2的E2，　　即：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2?②位置1的Ep1(Ek1)转化为位置2的Ek2(Ep2)　　即；Ep1-Ep2=Ek1-Ek2哈密顿原理是用变分的方法确定运动规律的，它是力学变分原理的积分形式。基本思想是在描述力学体系的?维空间中，用变分求极值的方法，从许多条端点相同的曲线中挑选一条真是轨道确定体系的运动变化规律。因为对等时变分?，故变分符号?可置于积分号内也可置于积分号外，而不等时变分?，故全变分符号不能这样。若哈密顿函数不显含时间?，则?；对稳定约束下的力学体系，动能不是速度的二次齐次函数，则?，是以哈密顿正则变量表示的广义总能量，因不稳定约束的约束范例可以做功，但拉格朗日方程中不含约束力，故有此差异，此时?并不是真正的能量；对稳定的