282-一、二阶线性微分方程解的结构.ppt

3? 自由项 f (x) 为 eax (Acos wx + Bsin wx)型 设二阶常系数线性非齐次方程为 y? + py? + qy = eax (Acos wx + Bsin wx)， 其中 a，A ，B 均为常数. 　　由于 p，q 为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数， 正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数， 因此, 我们可以设 ⑧有特解 ⑧ 其中 C，D 为待定常数. 取 k = 0， 是根时， 取 k = 1， 代入 ⑧ 式，求得 C 及 D. 当 a + wi 不是 ⑧ 式所对应的齐次方程的特征方程的根时， 例 9　求方程 y? + 3y? - y = ex cos 2x 的一个特解. 　　解　自由项 f (x) = ex cos 2x 为 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函数， 则 且 a + wi = 1 + 2i，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程 r2 + 3r – 1 = 0 的根， 取 k = 0，所以设特解为 代入原方程，得 比较两端 cos 2x 与 sin 2x 的系数，得 解此方程组，得 故所求特解为 例 10　求方程 y? + y = sin x 的一个特解. 　　解　自由项 f (x) = sin x 为 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函数，且 a = 0，w = 1， 则 代入原方程，得 且 a + wi = i 是特征方程 r2 + 1 = 0 的根， 取 k = 1，所以，设特解为 比较两端 sinx 与 cosx 的系数，得 故原方程的特解为 而对应齐次方程 y? + y = 0 的通解为 Y = C1cosx + C2sinx. 故原方程的通解为 例 11　方程 y? + 4y = x +1 + sinx 的通解. 　　解　自由项 f (x) = x +1 + sinx可以看成 f1 (x) = x +1 和 f2 (x) = sin x 之和， y? + 4y = x +1， y? + 4y = sin x . 和 ⑨ ⑩ 方程 ⑨ 的特解易求得， 设方程 ⑩ 的特解为 的特解. 所以分别求方程 代入⑩，得 3Asin x = sin x. 所以 得原方程的特解 　　原方程所对应的线性齐次方程为 y? + 4y = 0，其通解为 Y = C1cos 2x + C2sin 2x， 故原方程的通解为 三、应用举例 例 12 弹簧振动问题 　　设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为 m 的物体， 　　　　当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹性恢复力大小相等，方向相反， 设给物体一个初始位移 x0 初速度 v0， 则物体便在其平衡位置附近上下振动. 已知阻力与其速度成正比， O 试求振动过程中位移 x 的变化规律. 物体在振动过程中，受到两个力的作用： ma = - kx – mv, 其中 a 为加速度， v 为速度， 　　解 建立坐标系，平衡位置为原点, 铅垂方向为 x 轴的正向，则物体位移 x 是时间 t 的函数 x = x(t). 根据牛顿第二定律 F = ma，知 负号表示阻力 f2 与速度 v 方向相反， 其中 m 为比例系数大于 0 ( 或称阻尼系数 )， 阻力 f2 与速度 v 成正比， f2= - mv, 负号表示弹性恢复力与位移 x 方向相反； 其中 k 为弹性系数大于 0， 由胡克定律知， f1= - kx， 弹性恢复力 f1 与阻力 f2， * 一、二阶线性