677-二、线性微分方程解的结构.ppt

微分方程 一、定义 二、线性微分方程的解的结构 谢谢大家！ 比较两边同类项的系数，得 故原方程有一特解为 综上所述，原方程的通解为 例 解 对应的齐方程的特征方程为 特征根为 对应的齐方程的通解为 将它代入原方程，得 请同学们自己算 经 济 数 学 下页 返回 上页 * * LOGO 二、线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程解法 第五节　二阶常系数线性微分方程 四、二阶常系数非齐次线性方程解法 一、定义 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 1.二阶齐次方程解的结构 问题: 例如 观察有 2.二阶非齐次线性方程的解的结构 解的叠加原理 都是微分方程的解, 是对应齐次方程的解, 常数 所求通解为 例1 例 上面的定理只是说明了 二阶齐次线性微分方程的解的结构，对于一般的二阶常系数齐次线性微分方程，如何求其线性无关的解呢? 别着急，下面就告诉你！ 三、二阶常系数齐次线性微分方程 形如 的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程， 即 特征方程 特征方程法 二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为 二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 由求根公式 得齐次方程的通解为 二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 3) 特征方程有一对共轭复根： 是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为 利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i 。 欧拉公式： 由线性方程解的性质： 均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的。 故当特征方程有一对共轭复根 时，原方程的通解可表示为 二阶常系数齐线性微分方程 特征方程 特 征 根 通 解 形 式 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法. 例 解 例 解 例 解 故所求特解为 嗯，我知道怎么求 二阶常系数齐次线性微分方程的解了。我知道二阶常系数非齐次线性微分方程的解为对应的齐次方程的通解+一个特解，该如何求解呢? 别着急，下面就告诉你！ 四、二阶常系数非齐次线性微分方程 形如 的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程， 它对应的齐方程为 我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下，(2) 的特解。 方法：待定系数法. 方程 (2) 对应的齐方程 (1) 的特征方程及特征根为 单根 二重根 一对共轭复根 你认为方程应该有什么样子的特解？ 假设方程 有下列形式的特解： 则 代入方程 (2) ，得 即 方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。 由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解: 由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解: 由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解: 定理 1 当二阶常系数非齐次线性方程 它有下列形式的特解： 其中： 例 解 对应的齐方程的特征方程为 特征根为 对应的齐方程的通解为 将它代入原方程，得