函数凹凸性在不等式证明中的应用.doc

【标题】函数凹凸性在不等式证明中的应用 【作者】陈 小 翠 【关键词】凸性；不等式；几何特征 【指导老师】冯 彬 【专业】数学与应用数学 【正文】1??引言不等式的证明在数学问题中是经常碰到的，我们在中学时代就常常接触到不等式证明的问题，在那时，我们常用的不等式证明方法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法?等。进入大学以后，我们又学习了一些高等数学中常用的证明不等式的方法，例如利用函数的单调性、极大、极小值法和泰勒展式等方法?，除此以外，我们还学习了一种很重要的方法，即是利用函数的凹凸性性质来证明一些不等式。函数凹凸性，反映在图像上就是曲线的凹凸方向，为此运用它可以更深入和较准确地掌握函数曲线的形状，这对于描绘函数的图形有很大的作用，关于这些，在高等数学的各类教材中都有详尽的论述，本文是在凹凸性常识的基础上，抛开它的主要作用，介绍了凹凸函数的定义及其几何特征，再通过举例说明函数凹凸性在证明不等式中的应用。2??凹凸函数定义及几何特征?图1-1凹凸函数是区分函数增减方式的两种不同类型的函数，即：虽然函数单调增加，但却可有如图1-1中所示的两种方式增加。直观地看，函数?所表示的曲线是向下凸的，于是我们把形如?的增长方式的函数称为下凸（凸）函数，而函数?所表示的曲线是向上凸的，于是我们把形如?的增长方式的函数称为上凸（凹）函数。在高等数学的教材中，曲线的凹凸性直观定义为：“设曲线弧的方程为?，且曲线弧上每一点都有切线。如果在某区间内，该曲线弧位于其上任一点切线的上方，则称曲线弧在该区间内是凸的；如果在某区间内，该曲线弧位于其上任一点切线的下方，则称曲线弧在该区间内是凹的。”2.1??定义的推广在许多教材中，曲线的凹凸性有如下定义：定义2.1???设?在?内连续，如果对?内的任意两点?恒有?那么称?在?内的图形是向下凸(凸)的，函数称为下凸(凸)函数；如果恒有?那么称?在?内的图形是严格向下凸(凸)的，函数称为严格下凸(凸)函数如果对?内的任意两点?，?恒有?那么称?在?内的图形是向上凸(凹)的，函数称为上凸（凹）函数；如果恒有?那么称?在?内的图形是严格向上凸(凹)的，函数称为严格上凸（凹）函数。定义2.2???设?在?内连续，如果对?内的任意两点?，?恒有?????????????????(1.1)其中正数?，?满足?，那么称?在?内的图形是凸的，函数称为凸函数；如果恒有?那么称?在?内的图形是严格凸的，函数称为严格凸函数。如果对?内的任意两点?，?恒有?那么称?在?内的图形是凹的，函数称为凹函数；如果恒有?那么称?在?内的图形是严格凹的，函数称为严格凹函数。定义中，?是?，?之间的任一点。因为当?时，有?反之，??，?之间的任一点?可表示为?,记?，?时有?，?且?，从而?显然，定义2.1是定义2.2中?的情形。从而定义1.1的条例弱于定义1.2。根据函数的凹凸定义，不难证明，若函数?在区间I是凹的，则函数?在区间I就是凸的，从而，我们对凸函数特征的讨论可在凹函数上适用。2.2??凹凸函数的几何特征如图1-2：?图1-2设?，?是凸函数?曲线上两点，它们对应的横坐标?，?，则存在?，?，使得?，过点?作?轴的垂线交函数于A，交?于B，则（1.1）式左端即为A点纵坐标，右端即为B点纵坐标，因此，凸函数的几何意义就是：其函数曲线任意两点?与?之间的部分位于弦?的下方或曲线在任一点切线上方。根据以上几何特征，下面推导一个关于凸函数的直接不等式，设?为凸函数，?为?上的任一弦，设?，?，不妨设??，则直线??的方程为：?????????从而由上所述，凸函数几何性质为：???????????????（1.2）而对于严格凸函数则有：???????因此，同理，对于凹函数，我们得到的不等式则为：??????而对于严格凹函数，我们得到的不等式则为：??????3?凹凸函数的判别法凹凸函数的判别准则在一般教材中均有述及，下面是[5]中的一个判别凹凸函数准则：如果函数?在?内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定函数曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的判定定理。我们仅就?为闭区间的情形来叙述定理，当?不是闭区间时，定理类同。定理2.1　?若函数?在?上连续，且在?内具有一阶和二阶的导数，对?，恒有?，则曲线?在区间?上是凸（凹）的。（证明省略）下面我们将从不等式（1.1）、（1.2）出发，适当选取?来证明一些不等式。4?凸函数在证明不等式中的应用在中学数学和高等数学的数学分析、高等代数、概率论等课程中，常常会遇到一些不等式证明的问题，这些不等式往往是很难通过常规方法得到证