大学物理阻尼受迫振动振动合成课件——大连理工大学.ppt

* * 一根长为L的无伸缩得细线,上端固定,下端悬挂一个很小的重物(其线度L,可视为质点),质量为m,将重物略加移动后,重物就在竖直平面内来回摆动,这种装置称为单摆。 O——平衡位置 单摆右偏时θ为正，左偏θ为负。 重力产生的回复力矩： M=－mgsinθ·l “－”：力矩方向与角位移θ方向相　　　反。 有转动定律： 　　　　∴ （ ） 可见，单摆的振动不是谐振动。 二、单摆 0 p mgcosθ mgsinθ l θ 当θ很小 （θ　），则sinθ≈θ。 令 则 可见,当单摆的摆角很小时,其β与θ成正比而方向相反,具有简谐振动的特征。 上式写为： 三 复摆(又称物理摆) 物体形状－－不规则 光滑转轴－－悬挂点 当L与竖直线OO‘成θ角时,重力对转轴的力矩: 不是谐振动 当小角度摆动时,sinθ≈0 势能零点 （质心） 方程的解为: 由初始条件决定　 弹簧振子因受到空气的阻力作用振幅随时间不断减小的振动叫阻尼振动或减幅振动。 设物体受到的阻尼力和物体的速度成正比而方向相反，即 r为阻尼系数， 由实验测定 物体受到的回复力 ∑F=mg-kx =kb-kx =-k(x-b) =-kξ 物体受到的力就是回复力和阻尼力的合力： 　4.3 阻尼振动 令 则 阻尼因子 振动系统的固有频率 方程的解： 1.当阻尼较小,即βω0时,方程(1)的解为(欠阻尼振动): (1) (2) 其中: (阻尼振动系统圆频率) (系统固有频率) A、　为积分常数,由初始条件决定　 式(2)中包含了两项因子: (阻尼振幅) t = 0 时 , , t = ∞, 另外, 衰减也与 有关: 如果想减少阻尼,　∵β= r/2m 当r一定时, m↑→β↓　 表示振动是以ω为圆频率做周期性的变化 (1)振幅被限制在曲线±A 内,t→∞时,ξ=0,振动消失. (不是简谐振动) (2)准周期振动:每一次振动不 能完全重复。 （3）阻尼不大时：可近似看作谐振动。 2. 当阻尼较大，即β＞ω0 时：过阻尼状态 方程（1）的解为： A、B是由起始条件确定的常数。 等式右边两项都随t增加而衰减。后一项比前一项衰减的快些。系统并不发生振动。 时的阻尼振动 （3）当 时：临界阻尼状态 方程（1）解为： A，B由初始条件确定的常数 （也不发生振动） 例如 一单摆的摆球在一粘滞性很大的油中运动（例蓖麻油），小球只会逐渐回到平衡位置，而不会摆到另一边去，当它回到平衡位置时，所具有的能量都已消耗在阻尼上了。 如果阻尼刚好大到使摆球不能振动的程度，称临界阻尼。 超过这个程度：过阻尼。 阻尼的应用： 避振器——在机器上采用一系列的阻尼装置，使 振动迅速衰减。 还有，阻尼天平，灵敏电流计装上阻尼装置节省时间，便于测量。 §4.4 受迫振动、共振 一、受迫振动 受迫振动: 振动系统在周期性外力的持续作用下发生的振动。 设外力 物体受的力：回复力，阻尼力，简谐外力。 动力学方程为： 令 上式写成: 二阶常系数非齐次线性微分方程 与阻尼振动方程相比,多了一个非齐次项f 0cosωt 外力的圆频率 外力最大值，称力幅 方程（1）的通解为： 其中，η（t）：齐次方程的通解，它也是阻尼振动方程的通解。 阻尼振动其解有三种形式：欠阻尼、过阻尼、临界阻尼。 这三种形式的解都是t↑振幅↓ 最后可认为A→0。 ∴稳定状态下受迫振动的表达式为： 简谐振动 具有简谐振动的形式，周期性外力维持系统作等幅振动。 与前边讲过的简谐振动表达式的差别,受迫振动表达式中: ① ω不是系统固有频率,是强迫外力的频率 ② A、φ不是由初始条件确定的。 A与 f0、ω、ω0(系统固有频率)、β有关 2 2 0 2 : w w bw j - = arctg 受迫振动的初相角 与ω、ω0、β有关 稳态时振子的速度: 受迫振动的振幅 （3） 令 其中,速度振幅: 速度的相角比外力的相角落后θ,确定θ: 温馨 当 时， （5） （6） 二 共振 共振: 外力的频率ω等于振子的固有频率时,速度振幅达到最大值的现象。 由（6）式可知,当