高教杯数学建模竞赛——1997年A题优秀论文【数学建模】.doc

【摘要】 本题采用非线性规划的思想建立模型,将零件的标定值和容差作为一个整体的解看待,通过求解有约束的非线性规划的最小值问题,找到一组最优解。在模型中还给出了一个合理的质量损失的函数表示，使求解时避免了复杂的概率计算。在具体实现算法时，我们采用了将离散变量和连续变量进行分离处理的方法，综合考虑了算法对最优解的逼近程度和时间开销，得到比较满意的解。 在解题时我们应用了Matlab 5.3软件。 【关键字】非线性规划 期望 方差 一、问题重述 一件产品由若干零件组装而成。标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数，零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的三倍。 进行零件设计，就是要确定其标定值和容差，这时要考虑两方面因素： 当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大。 零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计的越小，成本越高。 试通过如下的具体问题给出一般的零件设计方法。 粒子分离器某参数（y）由7个零件的参数（记作x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7）决定，经验公式为 y的目标值（记作y0）为1.50，当y偏离y0±0.1时，产品为次品，质量损失为1，000元，当y偏离y0±0.3时，产品为废品，损失为9，000元。 零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A、B、C 三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为±1%,B等为±5%,C等为±10%。7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号“/”表示无此等级零件） 标定容许范围 C等 B等 A等 X1 [0.075,0.125] / 25 / X2 [0.225,0.375] 20 50 / X3 [0.075,0.125] 20 50 200 X4 [0.075,0.125] 50 100 500 X5 [1.125,1.875] 50 / / X6 [12,20] 10 25 100 X7 [0.5625,0.935] / 25 100 现成批生产，每批生产1000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：x1=0.1、x2=0.3、x3=0.1、x4=0.1、x5=1.5、x6=16、x7=0.75;容差均选最便宜的等级。 请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少。 二、问题的假设 1、假设组成产品的各个零件互不影响。即若将各零件的参数视为随机变量，它们相互独立。 2、生产过程中除质量损失外不再有其它形式的损失。 3、题目所给经验公式在给定的参数变化范围内有效。 4、在大批量生产当中,假设整批零件都处于同一等级。本题中可视1000个零件都是A等、B等、或C等。 三、参数的说明 y 表示粒子分离器的某参数 y0 表示粒子分离器的该参数的目标值, 为1.50 X0 表示七个零件参数的标定值向量 X0=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7) 表示第i种零件的容差 i=1 2…7 表示第i种零件的均方差 i=1 2…7 表示第i种零件的相对容差 i=1 2…7 表示参数y的期望值 表示参数y的均方差 f(X) y关于X的经验公式 F(y) 表征质量损失的函数 相对容差为的第i种零件的成本 i=1 2…7 C(m) 产品的总成本函数 P(X,m) 总费用函数 E(F(y)) F(y)的期望 四、模型的建立 1、先来讨论质量损失的计算。由题目中所给的“如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大。”这说明质量损失的计算应具有两个特点:只要y不等于y0那麽就有质量损失;损失值与|y-y0|成正比。因此,给出如下函数 F(y)=k 其中,k是常数。将题目中所给的两组损失数值代入上式,求得k=100000。因此 (1) 式符合上述的两个特点，称为表征质量损失的函数。 2、本题要求的是使总费用最少的设计方案。总费用由两部分组成：零件成本和y偏离y0造成的质量损失。 零件成本只取决于零件的相对容差，设第i种零件的成本为，则七种零件总成本为 y是由零件参数X0=(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)决定的，即经验公式y=f（X0），由假设xi可视为相互独立的随机变量，那麽y也是随机变量。大量生产时，平均每