代数不等式证明的常用方法和技巧.doc

【标题】?代数不等式证明的常用方法和技巧 【作者】李 永 强 【关键词】?代数不等式???常用方法???技巧 【指导老师】王 玲 芝 【专业】数学与应用数学 【正文】引言自高斯（?）,柯西（?）和切贝晓夫（?）时代发展起来的不等式理论后，人们一直在对不等式进行研究。对于不等式的重要性，我们都知道不管它在初等数学中，还是在高等数学中都占有着举足轻重的地位。因此，我们对于它的知识掌握要求也很高。不但要求我们能够运用其性质、定理、公式和方法解决一些问题，而且还要求我们把所掌握的知识用于实践，能够解决一些在生活中的实际问题。而对于不等式的证明，则给我们提出了更高的要求。正因为对我们的要求很高，所以我们在不等式的证明中一般都会感到特别困难。究其原因是多方面的。其一是不等式的题型繁多，而证明方法本身也是比较灵活，技巧多样；其二是不等式本身综合性较强，所以对我们的能力要求也很高。在此本文就其初等数学中代数不等式证明的常用方法和技巧作一些论述，通过例子的形式去说明和体现证明方法和技巧。使我们在面对一道不等式证明题时，能够很快的想出用哪一种或用哪几种方法以达到事半功倍的效果。2.?证明方法和技巧2.1?公式法这种方法是利用一些基本不等式来进行证明，这些基本不等式有：???,?,?，??等.例1．已知?,求证：?.证明：原不等式两边同乘以?，即要证?.?????因为???所以??.?????以上三式相加则得?.?????所以原不等式成立，当且仅当?时取等号.[注]在运用此法时，关键要看题设条件是否满足选用公式的条件.2.2?直接法这种方法一般是从不等式的左边或右边开始，根据已确立的公理、定义和定理，有时还要用到已知条件，用逻辑推理来导出所求的不等式.请见以下二例：例2．设?,求证：?+??.证明：?由于?,所以??.右边=?????????????+?=左边.?所以原不等式成立。例3．设?是非负数，且?.求证：?.证明：??.因为??是非负数，且??,所以?????.?故原不等式成立。2.3?比较法????这种方法是根据比较两个实数的大小来判定不等式关系的。常见的有比差法和比值法两种。2.3.1?比差法?????这种方法的依据是???,证明步骤一般为作差、变形、定符，而“变形”应变到能够判断其符号为止.例4．若?都是小于1的正数，且?,求证：???.证明：原不等式变形为?.???????因为??,???????所以?????????????????????????????????=????????????????????????????????.???????所以原不等式成立，当且仅当?时，不等式取等号。2.3.2?比值法?这种方法的依据是??? 1,其证明步骤一般为作商、变形、判定（判定所变出来的式子的值与“1”的大小关系）。例5．已知?是不相等的正数，求证：?.?证明：??=?=????????因为?,且?是正数，???????所以???=1.?所以原不等式成立。[注]对一道题而言，若比差法和比值法都适用时，通常选用比差法，因为一般情况下它较比值法简便。2.4?分析法和综合法2.4.1?分析法?这种方法是假定原不等式成立，利用不等式变形和不等式的性质，寻求使该不等式成立的充分条件，进行等价逆推，直到所得不等式成立，从而证明原不等式成立。例6．?已知?,求证：|?| 1.??证明：假定原不等式成立，则（? 1.????????所以??变形得：?????????,所以??或?.????????由已知??，并且以上每一步都可逆，所以原不等式成立。2.4.2?综合法?这种方法是从已知条件或一些显然的事实出发，推出某一结论，若这一结论不符合题目要求，可再将此结论作为前提条件推出另一结论，直到推出要证明的结论为止.例7．若四整数满足关系?,且?是?的整根.求证：?.?证明：因为??,且满足关系?.??????????所以由题意知??,且它们是4的不同因数，?????????于是??.????????所以??,即??=?.????????由于??,?则????.?即??.????????所以原不等式成立。[注]分析法从未知（结论）推到已知（条件），综合法从已知（条件）推到未知（结论），故分析法和综合法的解题思路正好互逆.一般情况下，把分析法和综合法综合使用，常常能收到事半功倍的效果.2.5?数学归纳法这种方法适用于证明某些可以递推到有关自然数?的不等式。它的一般步骤为：验证?或?时结论成立、假设?时结论成立去证明?时结论也成立.例8．设实数??,证明:?.证明:?(1)?当?时,??显然有?原不等式成立.(