带梯度的抛物方程组解的熄灭与区域的相关性.doc

【标题】带梯度的抛物方程组解的熄灭与区域的相关性 【作者】岑 志 【关键词】非线性抛物方程??熄灭??区域测度 【指导老师】侯慎勇 【专业】数学与应用数学 【正文】1.引言非线性抛物型方程????????????????????????????????????????????????????（1）存在解的熄灭现象，即在某个时间?以后，问题的解恒为零，这是一类重要的非线性现象，因为线性方程的解是不会熄灭的，而且解的熄灭现象具有明显的实际背景.目前有关解熄灭性质的研究还不多见.但文[1.2]的研究得出了极为漂亮的结果.文[1]考虑了当??????????????????????????????????????（2）时,方程(1)的初边值问题解的熄灭问题，证明了解熄灭的充要条件是?.针对文[1]的考虑，文[3]研究???????????????????????????????????????????（3）的情况，此种情况实际上是在文[1]所考虑的情况下加入了一个线性项?，但?的加入是阻止解熄灭的.因此这里的考虑有别于文[1]所考虑的情况，而且也完全超出了文[2]所考虑的范围.针对文[3]的考虑，本文研究??????????????????????????????????（4）的情况，此种情况实际上是在文[1]所考虑的情况下变成了方程组，并加入了线性项?，且把非线性项变成了梯度?，但这些的加入是阻止解熄灭的.因此这里的考虑有别于文[1,2]所考虑的情况，而且也完全超出了文[3]所考虑的范围.通过对（3）所考虑情况的研究，我们发现解的熄灭与空间区域大有关联.这种关联在过去是较少引起关注的，下面首先给出问题及主要结果，然后给出证明.2.问题与主要结果考虑下述初边值问题??其中?是二维欧氏空间?中的有界光滑区域，?是其边界，?是常值参数，?是Laplace算子.下用?表示梯度算子，?表示空间?中的范数，用?表示?中的测度.?????定理?设?,?且?则当?满足?时，问题（5），（6），（7）之解?将在有限时间?内熄灭，并有估计??????????其中?都为常数.3.定理证明引理3.1（Sobolev不等式）?设?是?中有界光滑区域，?，则????　　　　??引理3.2(Ehrling-Nirenberg-Gagliardo插值不等式)设?为具有一致内锥性质的有界区域，则对任意?，恒存在只依赖于?，?，?与区域?的常数?，使得对任何?，有?这个不等式揭示的是这样一个重要事实：?中函数的中间导数的?模可通过它本身及其最高阶导数的?模估出.引理3.3(Poincare不等式)设?,?有一有界区域.若?，则?引理3.4(带?的?不等式)?设?且?，则有??引理3.5(?不等式)　设?1,?1，?，则对任意正数?有?其中?可为任意正实数.????现在我们给出上节中定理的证明.???证明??设?是问题（5），（6），（7）之解，令????????????????????????????????????????????????????（10）则?，由（5）及（7）得?=?+?=?+?其中????=??=??同理?????则?=???（11）由引理3.1,?????????????????????????????????????????????（12）又由Schwartz不等式,?????????????（13）由（12）,（13）则???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????（14）同理??????????????????????????????????????????????????????????（15）将（14）,?(15)代入（11）即得????????????????????????????????????（16）因为?4?，则??.记?=??则（16）为???????由引理3.3,?有????????同理?因此?????????－??????????????????????（17）由Gagliardo-Nirenberg不等式，我们有????????????????????????????????????????????????????????????（18）其中?，c为正常数，则?由于?，则?，由（18）???????????????????同理???????????????????????????????于是??????????????????